9.3等比数列(一)双基达标(限时20分钟)1．已知等比数列的公比q＝－.则等于()．A．－B．－3C.D．3解析＝＝＝－3，故选B.答案B2．等比数列中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是()．A．±4B．4C．±D.解析由an＝·2n－1＝2n－4知a4＝1，a8＝24，其等比中项为±4.答案A3．设a1＝2，数列是公比为2的等比数列，则a6等于()．A．31.5B．160C．79.5D．159.5解析1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，∴1＋2a6＝5·25，∴a6＝＝79.5答案C4．在等比数列中，公比q<0，a1＋a2＝30，a3＋a4＝120,则通项公式an＝________．解析＝q2＝4，∵q<0∴q＝－2，a1(1＋q)＝30.∴a1＝＝－30，∴an＝－30(－2)n－1.答案－30(－2)n－15．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．解析a8＝a1q7，768＝6q7，∴q＝2，∴a6＝6×25＝192.答案1926．已知为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求的通项公式．解设等比数列的公比为q，则q≠0，a2＝＝，a4＝a3q＝2q.所以＋2q＝，解得q1＝，q2＝3.当q＝时，a1＝18，所以an＝18×＝＝2×33－n.当q＝3时，a1＝，所以an＝×3n－1＝2×3n－3.综合提高限时25分钟7．若实数a，b，c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数是()．A．0B．1C．2D．不能确定解析b2＝ac，Δ＝b2－4ac＝－3b2＜0，注意b≠0.答案A8．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x＞1时，logax，logbx，logcx()．A．依次成等差数列B．依次成等比数列C．各项的倒数依次成等差数数列D．各项的倒数依次成等比数列解析b2＝ac⇒2logxb＝logxa＋logxc.答案C9．a，b，c成等比数列，m，n分别是a，b和b，c的等差中项，则＋＝________．解析∵m＝，n＝，b2＝ac，∴＋＝＋＝2.答案210．在数列、中，a1＝2，且对任意自然数n，3an＋1－an＝0，bn是an与an＋1的等差中项，则是________．解析由题设3an＋1－an＝0，得＝，∴数列是等比数列，公比为，∴an＝2·，bn＝(an＋an＋1)＝·＝·.∴数列是首项为，公比为的等比数列．答案首项为，公比为的等比数列11．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．(1)求a1及an；(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．解(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．a1＝k＋1也满足上式，所以an＝2kn－k＋1，n∈N*.(2)由am，a2m，a4m成等比数列，得(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，将上式化简，得2km(k－1)＝0，因为m∈N*，所以m≠0，故k＝0或k＝1.12．(创新拓展)容器A中盛有浓度为a%的农药mL，容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL，A、B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，再将A中农药的倒入B中，均匀混合后，再由B倒入A中，恰好使A中保持mL，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?解设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%.b1＝(a0＋4b0)，a1＝a0＋b1＝(4a0＋b0)；b2＝(a1＋4b1)，a2＝a1＋b2＝(4a1＋b1)；…；bn＝(an－1＋4bn－1)，an＝(4an－1＋bn－1)．∴an－bn＝(an－1－bn－1)＝…＝(a0－b0)·.∵(a0－b0)＝，∴an－bn＝·.依题意·<1%，n∈N，解得n≥6.故至少经过6次这样的操作两容器中农药的浓度差小于1%.
