章末质量评估(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．下列命题中的真命题是()．A．单位向量都相等B．若a≠b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠bD．若|a|＝|b|，则a∥b答案C2．设a、b、c为平面向量，下面的命题中：①a·(b－c)＝a·b－a·c；②(a·b)·c＝a·(b·c)；(③a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2；④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.正确的个数是()．A．3B．2C．1D．4解析由数量积的运算性质易知①③是正确的．对于②(a·b)·c表示与向量c共线的向量，而a·(b·c)表示与向量a共线的向量，故②错误．对于④a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故④错误．答案B3．设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝()．A．(－15，12)B．0C．－3D．－11解析a＋2b＝(－5，6)，(a＋2b)·c＝－3.答案C4．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1、λ2的值分别为()．A．－1，1B．－1，2C．1，2D．2，1解析因为c＝λ1a＋λ2b，所以(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)，即解得答案B5．与向量a＝(1，1)平行的单位向量为()．A.B.C.D.解析与a平行的单位向量为±.答案D6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()．A.B.C.D.解析由题意知Δ＝|a|2－4a·b≥0⇒a·b≤|a|2，∴cos〈a，b〉＝≤≤，〈a，b〉∈.答案B7．设O，A，B，C为平面上四点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，且a＋b＋c＝0，a，b，c两两数量积均为－1，则|a|＋|b|＋|c|等于()．A．2B．2C．3D．3解析由a＋b＋c＝0，可得0＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，由于a，b，c两两之间的数量积均为－1，则a·b＝b·c＝c·a＝－1，综合可得|a|＝|b|＝|c|＝.答案C8．已知2a＋b＝(－4，3)，a－2b＝(3，4)，则a·b的值为()．A．0B．1C．－1D．－2解析由已知可得，4a＋2b＝(－8，6)．∴(4a＋2b)＋(a－2b)＝(－8，6)＋(3，4)＝(－5，10)．即5a＝(－5，10)，∴a＝(－1，2)．从而b＝(2a＋b)－2a＝(－4，3)－(－2，4)＝(－2，－1)．∴a·b＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0.答案A9．若向量a＝(1，1)与a＋2b的方向相同，则a·b的取值范围是()．A．(－∞，－1)B．(－1，0)C．[－1，＋∞)D．(－1，＋∞)解析设b＝(x，y)，则a＋2b＝(1＋2x，1＋2y)． a与a＋2b方向相同，∴1＋2y－1－2x＝0，即y＝x且1＋2x＞0，即x＞－.a·b＝x＋y＝2x＞2×－＝－1.答案DA．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形答案A二、填空题(每小题5分，共25分)11．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则A，B，C，D四点中一定共线的三点是________．答案A、B、D12．在△ABC中，若|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则cos∠ACB＝________．解析 |AB|2＋|BC|2＝32＋42＝52＝|CA|2，∴△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，∴cos∠ACB＝＝.答案13．如图，在△ABC中，E，F分别是边AC，BC的中点，D是EF的中点，设AC＝a，BC＝b，则AD＝________.解析ED＝EF＝(AB)＝(CB－CA)＝(－b＋a)．AE＝AC＝a，AD＝AE＋ED＝a＋(－b＋a)＝a－b.答案a－b14．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60m，若牵绳与行进方向夹角为，人的拉力为50N，则纤夫对船所做的功为____________．解析功W＝60×50×cos30°＝1500(J)．答案1500J15．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.解析c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)．答案8三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(13分)已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)．(1)求AB·AC和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；(2)若M为BC边的中点，求|AM|.解(1)因为AB＝(3，－1)，AC＝(－1，－3)，AB·AC＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，所以AB⊥AC，即∠A＝90°.由|AB|＝|AC|知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.(2)设M(x，y)，因为M为BC的中点，所以M点坐标为(2，0)．又因为A(1，2)，所以AM＝(1，－2)．所以|AM|＝＝.17．(13分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0.(1)用OA，OB表示OC；(2)若点D...
