高中数学章末质量评估(三)湘教版必修4VIP免费

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2024-09-29 发布于山西
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章末质量评估(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．若<<0，则下列不等式不正确的是()．A．a＋b2C．abb2解析由<<0，可得b0，x<0两种情况讨论，从而可得cosθ＝±1，则θ＝kπ，k∈Z，故选C.答案C8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()．A．6.5mB．6.8mC．7mD．7.2m解析周长一定时多边形各边越接近面积越大．不妨设两直角边为a，b，则ab＝4，周长l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈7，因此7米时最合理也浪费最少．答案C9．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为()．A．1B．－2C．－D．－3解析x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a≥， x＋≥，∴－≤－，∴a≥－.答案C10．如果实数x，y满足，目标函数z＝kx＋y的最大值为12，最小值为3，那么实数k的值为()．A．2B．－2C.D．不存在解析如图为所对应的平面区域，由直线方程联立方程组易得A，B(1，1)，C(5，2)．由于3x＋5y－25＝0在y轴上的截距为5，故目标函数z＝kx＋y的斜率－k<－，即k>.将k＝2代入，过B的截距z＝2×1＋1＝3.过C的截距z＝2×5＋2＝12.符合题意，故k＝2.答案A二、填空题(每小题5分，共25分)11．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．解析x＋≥a恒成立⇔(x＋)min≥a. x>1，即x－1>0，∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3(当x＝2时取等号)．∴a≤3，即a的最大值为3.答案312．已知方程9x－a·3x＋2＝0有实数解，则实数a的取值范围是________．解析a＝3x＋≥2，当且仅当3x＝，即32x＝2，即x＝log32时取“＝”号．答案a≥213．函数y＝sinx＋(00.∴y≥2＝，当且仅当sinx＝取等号ymin＝.答案14．设点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________．解析点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，∴m＋n＝1且m>0，n>0.∴mn≤＝，当且仅当m＝n时等号成立．∴log2m＋log2n＝log2(m·n)≤log2＝－2.答案－215．(·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．解析由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时“＝”号成立)．又 a＋2b≥2≥4(当且仅当a＝2b时“＝”成立)，∴3a＋9b≥2×32＝18.即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18.答案18三、解答题(共75分)16．(13分)设a，b∈R＋，试比较，,，的大小．解 a，b∈R＋，∴＋≥2，即≤(当且仅当＝，即a＝b时等号成立)．又＝≤＝，≤∴(当且仅当a＝b时取等号)．又≤，∴≤≤≤(当且仅当a＝b时取等号)．17．(13分)已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．解法一在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立，等价于x2＋2x＋a>0恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1递增，所以当...

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