多维无约束优化算法VIP免费

多维无约束优化算法多维无约束优化问题的一般数学表达式为：求n维设计变量12[]Tnxxxx使目标函数()minfx多维无约束优化算法就是求解这类问题的方法，它是优化技术中最重要最基础的内容之一。因为它不仅可以直接用来求解无约束优化问题，而且实际工程设计问题中的大量约束优化问题，有时也是通过对约束条件的适当处理，转化为无约束优化问题来求解的。所以，无约束优化方法在工程优化设计中有着十分重要的作用。目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。（1）间接法——要使用导数，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。（2）直接法——不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。用直接法寻找极小点时，不必求函数的导数，只要计算目标函数值。这类方法较适用于解决变量个数较少的（n≤20）问题，一般情况下比间接法效率低。间接法除要计算目标函数值外，还要计算目标函数的梯度，有的还要计算其海赛矩阵。各种优化方法之间的主要差异是在于构造的搜索方向，因此，搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。下面介绍几种经典的无约束优化方法。1、梯度法基本思想：函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。搜索方向s取该点的负梯度方向(最速下降方向)，使函数值在该点附近的范围内下降最快。为了使目标函数值沿搜索方向()kfx能够获得最大的下降值，其步长因子k应取一维搜索的最佳步长。即有根据一元函数极值的必要条件和多元复合函数求导公式，得在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。这就是说在迭代点向函数极小点靠近的过程，走的是曲折的路线。形成“之”字形的锯齿现象，而且越接近极小点锯齿越细。方法特点（1）初始点可任选，每次迭代计算量小，存储量少，程序简短。即使从一个不好的初始点出发，开始的几步迭代，目标函数值下降很快，然后慢慢逼近局部极小点。（2）任意相邻两点的搜索方向是正交的，它的迭代路径为绕道逼近极小点。当迭代点接近极小点时，步长变得很小，越走越慢。梯度法的特点（1）理论明确，程序简单，对初始点要求不严格。（2）对一般函数而言，梯度法的收敛速度并不快，因为最速下降方向仅仅是指某点的一个局部性质。（3）梯度法相邻两次搜索方向的正交性，决定了迭代全过程的搜索路线呈锯齿状，在远离极小点时逼近速度较快，而在接近极小点时逼近速度较慢。（4）梯度法的收敛速度与目标函数的性质密切相关。对于等值线(面)为同心圆（球）的目标函数，一次搜索即可达到极小点。梯度法由于每次迭代的搜索方向是取函数的最速下降方向，因此又称它为最速下降法。从这点看，容易使人认为，这种方法是一个使函数值下降最快的方法，开始给定结束0,x()kkfdx1:min()kkkkkkkfxxdxd1kkxx*1kxx否是1kk0k但实际上并不是这样，计算表明，此法往往收敛得相当慢。这是由于梯度法的相邻两次搜索方向是相互正交的，所以，当二元二次函数的等值线是比较扁的椭圆时，其梯度法逼近函数极小值的过程呈直角锯齿状，如图8-15(b)所示。这种算法的优点是迭代过程简单，要求的存储量也少，而且在远离极小点时，函数下降还是比较快的。因此，常常将它与其它方法结合，在计算的前期使用最速下降方向，当接近极小点时，再改用其它搜索方向，以加快收敛速度。2、牛顿法（二阶梯度法）基本思想：在xk邻域内用一个二次函数()x来近似代替原目标函数，并将()x的极小点作为对目标函数()fx求优的下一个迭代点1kx。经多次迭代，使之逼近目标函数()fx的极小点。牛顿法是求函数极值的最古老算法之一。设1kx为()x的极小点这就是多元函数求极值的牛顿法迭代公式。对于二次函数，海赛矩阵H是一个常矩阵，其中各元素均为常数。因此，无论从任何点出发，只需一步就可找到极小点。从牛顿法迭代公式的推演中可以看到，迭代点的位置是按照极值条件确定的，其中并未...