1/5中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1.已知非零实数a,b满足2242(3)42ababa,则ab等于().(A)-1(B)0(C)1(D)2【答】C.解:由题设知a≥3,所以,题设的等式为22(3)0bab,于是32ab,,从而ab=1.2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于().(A)512(B)512(C)1(D)2【答】A.解:因为△BOC∽△ABC,所以BOBCABAC,即11aaa,所以,210aa.由0a,解得152a.3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y的方程组322axbyxy,只有正数解的概率为().(A)121(B)92(C)185(D)3613【答】D.解:当20ab时,方程组无解.当02ba时,方程组的解为62,223.2bxabayab由已知,得,0232,0226baabab即,3,23,02baba或.3,23,02baba由a,b的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得2345612ab,,,,,,,共有5×2=10种情况;或1456ab,,,,共3种情况.又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为3613.4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,90B.动点P从点B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y.把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为().(A)10(B)16(C)18(D)32【答】B.(第4题)(第2题)图1图22/5解:根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故S△ABC=12×8×4=16.5.关于x,y的方程22229xxyy的整数解(x,y)的组数为().(A)2组(B)3组(C)4组(D)无穷多组【答】C.解:可将原方程视为关于x的二次方程,将其变形为22(229)0xyxy.由于该方程有整数根,则判别式≥0,且是完全平方数.由2224(229)7116yyy≥0,解得2y≤11616.577.于是2y01491611610988534显然,只有216y时,4是完全平方数,符合要求.当4y时,原方程为2430xx,此时121,3xx;当y=-4时,原方程为2430xx,此时341,3xx.所以,原方程的整数解为111,4;xy223,4;xy331,4;xy443,4.xy二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶3000km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶km.【答】3750.解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为5000k,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm,交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kxkykkykxk两式相加,得()()250003000kxykxyk,则237501150003000xy.7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则AHAB的值为.解:如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF.由题设知13ACAD,13ABAE,在△FHA和△EFA中,90EFAFHA,FAHEAF所以Rt△FHA∽Rt△EFA,AHAFAFAE.而AFAB,所以AHAB13.8.已知12345aaaaa,,,,是满足条件123459aaaaa的五个不同的整(第7题)3/5数,若b是关于x的方程123452009xaxaxaxaxa的整数根,则b的值为.【答】10.解:因为123452009bababababa,且12345aaaaa,,,,是五个不同的整数,所有12345bababababa,,,,也是五个不同的整数.又因为2009117741,所以1234541bababababa.由123459aaaaa,可得10b.9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为ACB的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于.【答】6027.解:如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25.故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且90ACB.作EF⊥BC...