1例1．1正数数列｛｝的前n项的和S，满足2JT=a+1,nn'n数列匕｝的通项公式；n试求：2设b=—，数列｛｝的前n项的和为B,naannnn+1求证：(1)由已知得4S=(a+1)2,4a=a2+2annna—a=2，nn—1解：n>2时，4Snnn—1n—1-a2-2a，所以(a+a)(a—a—2)=0，又因为乞｝为正数数列，所以+1）2，作差得:1(2)b=-naa=(2n—1)(2n+1)=1(2^—11<—22(2n+1)2真题演练1：（06全国1卷理科22题）设数列｛a｝的前n项的和，S4二—-x2n+1+2,n=1,2,3,33（I）求首项a与通项a12n(II)设T=,n=1,2,3,・・・,nS证明:解：(I)由S=4a—ix2n+1+|,n3n33n=1,2,3,…，①得a=S=43a工T<3.i2i=1212—3X4+3所以a1=2再由①有S=4a—|X2n+|,n—13n—133n=2,3,4,…将①和②相减得：a=S-S=nnn-13(a—a)—3X(2n+1—2n),n=2,3,…3nn—13整理得：a+2n=4(a+2n-i),n=2,3,…，因而数列｛a+2n｝是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列，即：nn－1a+2n=4X4n-i=4n,n=1,2,3,…，因而a=4n-2n,n=1,2,3,…，n41(11)将a=4n—2n代入①得S=~X(4n—2n)—-X2n+1+nn33(2n+l—l)(2n+l—2=3X(2n+1—1)(2n—1)2n3US2n2=3X(」(2n+1—1)(2n—1)22n—12n+1—1ii=1'11、3/1('—)=_X(22i—12i+1—1221—12n+1—用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）2且S,S,S成等差数列.798•・・公4n1-(-2)n14n一(—(利用等比数列前n项和的模拟公式S—Aqn—A猜想)・・B—b+bH—bn—1,2222”232”23例3．已知数列｛an｝满足：a1-】，a—(1+)a(n—1,2,3—).求证：a>a>3——n+12nnn+1n2n-1证明：因为a—(1+)a，n+12所以a与a同号’又因为a1-1>0，所以a>°，n+1n即ann—a2nn即an>a•所以数列｛a｝为递增数列，所以a>a—1，nn1即ann—a2nn累加得：a>1+A+-+口2222n-11—+++2222n-1，所以2S1—+++——22232nn—1，两式相减得:111—++++———，n222232n-12nn+1所以S—2—L,n2n-1所以a>3—n+1n+13即(n一1)b一nb+2=0,nb-(n+1)b+2=0.n+1故得a>a>3—n+1n2n-13.放缩后成等差数列，再求和例4.已知各项均为正数的数列｛a｝的前n项和为S,且a2+a—2S.nnnnnka2．放缩后为“差比”数列，再求和k+1<—(nGN*).24(1(2S求证：芒yS]+“2+•••+“”<解：(1)在条件中，令n=1，得a2+a111+a=2S，上述两式相减，注意到a=S—S得'n+1n=2S=2a，丁a>0/.a=1，又由条件a2+a=2S有1a2n+1n+1n+1n+1(a+a)(a—a—1)=0n+1nn+1n•/a>0a+a>0nn+1/.a—a=1n+1nn(n+1)n2+3nS一1-n+l吒+辽+…辽>—nn(n+1)S+―—+.…+―—=v'(III)Tcn1(2n+2)2/.T=c+c+c+…・+cn123n1(1<一-1]2n+3S=2a+(—1)n，nn(2)求数列｛a｝的通项公式;n,a2+a2求证：S<—nn+4n4所以，a=1+1x(n一1)=n，Sn所以S=<1•n2+(n+1)2=n⑵因为n<,：n(n+1)0.对于正数列｛a｝，其前n项和S=f(a)，(nGN*).nnn(I)求实数b的值；(II)求数列｛a｝的...
