第27卷第2期华侨大学学报(自然科学版)Vol.27No.22006年4月JournalofHuaqiaoUniversity(NaturalScience)Apr.2006文章编号1000-5013(2006)02-0155-04框架结构稳定分析的泡函数有限元法高轩能王仁辉(华侨大学土木工程学院,福建泉州362021)摘要寻求一种既有普通杆件有限元的简洁性,又能求解所有框架结构临界载荷的有效方法.根据框架结构杆件失稳变形和泡函数的特点,采用新的基函数系,在普通杆件有限元的形函数中引入泡函数,得到泡函数有限单元法.泡函数是定义在有限单元上的一个模型,其在单元的边界上为零,而在内部非零.它的应用改善了普通杆件有限元法的收敛性,并使其适用于任何框架结构的屈曲分析.算例表明,泡函数有限元法对于框架结构的屈曲分析具有良好的适应性、稳定性、收敛性和求解效率,是一种进行大型结构屈曲分析的有效方法.关键词泡函数有限元法,框架结构,柱计算长度,稳定分析,有限元法中图分类号TU323.501文献标识码A在结构稳定分析的普通有限元法中,以框架结构杆件的自然结点作为单元结点,所得到结果的精度往往不确定,时好时坏,有时甚至是谬误的.等截面理想轴心压杆杆长为L,在不同端部约束条件下的屈曲荷载精确解,以及相应的以杆件自然结点划分单元的普通有限元(FEM1)和本文方法(BFEM)的计算结果,如表1所示.表中,符号“-”表示求解失效,下同;Vcr=表中数值×*2EI/L2.从表1中结果可知,FEM1的求解精度很不稳定,总体上来说,随着杆端约束程度的增加,误差(φ)急剧增加.当杆件两端固表1理想轴心压杆的屈曲荷载Vcr杆端支承条件一端自由一端固定两端铰支一端转动约束一端铰支一端转动约束一端固定一端铰支一端固定两端固定理论值［1,2］0.2501.0000.2501.0002.0464.000FEM10.2521.2160.2521.0133.040-φ/(%)0.7521.600.751.3248.60-BFEM0.2501.0010.2501.0132.1084.070φ/(%)00.1001.323.031.76定时,方法失效,表明FEM1在框架结构稳定分析中的计算结果不一定可用.由此可见,框架结构稳定有限元分析的精度不仅取决于结构的几何形式,还取决于构件结点的连接方式.图1单元力与单元位移1基本原理和单元刚度的建立［3,4］通常,杆系结构屈曲分析的普通有限元是建立在轴向线性位移和横向三次多项式位移模型基础之上的,是一种极小化单元模型.在单元内部补充内自由度并在横向位移模型上增加任意泡状函数项,就可构成泡函数有限单元位移模型.为此,取横向位移模型基函数系为[1xx2x3x4x6].如图1所示,只考虑弯曲变形影响的泡函数单元的形函数矩阵[N1N2N3N4N5],其中N1=(2η+1)(η-1)2,N2=Lη(η-1)2,N3=-η2(2η-3),N4=Lη2(η-1),N5=αη2(η-1)2+βη3(η-1)3(泡函数).α,β为任意常数,η=x/L,L为杆单元几何长度.同普通有限元一样,应用虚功原理可得到单元的弯收稿日期2005-08-19作者简介高轩能(1962-),男,教授,博士,主要从事钢结构和组合结构的研究.E-mail:gaoxn@hqu.edu.cn基金项目华侨大学科研基金资助项目(03BS406);江西省教育厅科研基金资助项目(GJ2004-12)曲刚度矩阵和几何刚度矩阵［2,5］.单元的位移函数为y=/&.其中,&=[viθivjθjfij]T,则单元的外力功和应变能为Te=12&T0+V2.L0(y')2dx,We=EI2.L0(y")2dx.式中,V为轴心压力,0为单元力列阵,0=[Y1Y2Y3Y4Y5]T=1e&.将位移函数式代人外力功和应变能式,应用δTe=δWe,可得1e=EI.L0(/")T(/")dx-V.L0(/')T(/')dx=2e-3e.(1)上式中,2e=(kij)=EI.L0N"iN"jdx,3e=(gij)=V.L0N'iN'jdx.则其显式为2e=EIL3126L-126L06L4L2-6L2L20-12-6L12-6L06L2L2-6L4L200000EFGHa,3e=V30L363L-363L03L4L2-3L-L2b-36-3L36-3L03L-L2-3L4L2-b0b0-EFGHbc.(2)在式(2)中,a=45α2-1235αβ+235β2,b=(α-314β)L,c=(44α2-22αβ+3β2)/77.式(2)中,2e和3e中的前4行与前4列就是普通有限元的刚度矩阵,表明泡函数有限元只比普通有限元FEM1增加少量的存储空间.此外,上述刚度矩阵中只给出了弯曲影响项,轴向力项通常在刚度矩阵2e中为±EA/L,在3e中为0.要考虑轴向压缩变形影响时,可在矩阵行列的适当位置增加轴向力项.把局部坐标系下的单元刚度矩阵2e,3e转换成整体坐标系下的单元刚度矩阵4e,+e后.同普通有限元一样,在结构的每个结点上建立平衡方程和位移协调条件,按“对号入座,同号相加”的原...
