课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练【课标要求】第3课时空间向量与空间角【核心扫描】理解直线与平面所成角的概念．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题．体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲．向量法求解线线、线面、面面的夹角．(重点)线线、线面、面面的夹角与向量的应用．(难点)1．2．3．1．2．课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练想一想：当一条直线l与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？提示不一定，这条直线还可能与平面平行．自学导引1．直线与平面的夹角定义：平面外一条直线与它在该平面内的_____的_____，特别当直线与平面平行或在平面内时，直线与平面的夹角为__，当直线与平面垂直时，直线与平面的夹角为___．投影夹角0π2课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练空间中的角角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cosθ＝_____________＝______直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝_____________＝_____二面角设二面角αlβ的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝_______________＝_______[0，π]|cos〈a，b〉|2．|cos〈a，n〉||cos〈n1，n2〉||a·b||a|·|b|(0，π2]|a·n||a|·|n|(0，π2]|n1·n2||n1||n2|课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练试一试：若二面角αlβ的两个半平面的法向量分别为n1，n2，试判断二面角的平面角与两法向量夹角〈n1，n2〉的关系．提示相等或互补课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练两异面直线所成角的求法(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．(2)向量法：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，a与b的夹角为φ，则l1与l2所成角θ满足cosθ＝|cosφ|＝|a·b||a||b|.1．直线与平面所成角的求法(1)几何法：找出斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构成的直角三角形获解．2．课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练二面角的求法(1)几何法：作出二面角的平面角，然后通过解三角形获解．(2)向量法：设二面角αlβ的两个半平面的法向量分别为n1，n2.①当平面α、β的法向量与α、β的关系如图所示时，二面角αlβ的平面角即为两法向量n1，n2的夹角〈n1，n2〉．(2)向量法：设直线l的方向向量为a，平面α的一个法向量为n，直线l与平面α所成角为θ，a与n的夹角为φ，则有cosθ＝sinφ，或sinθ＝|cosφ|＝_______.3．|a·n||a||n|课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练②当平面α、β的法向量与α、β的关系如图所示时，二面角αlβ的平面角与两法向量n1，n2的夹角〈n1，n2〉互补．课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练题型一求异面直线的夹角【例1】规律方法在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别．课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．【变式1】解(1)如图，建立空间直角坐标系． ∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)．由PD⊥平面ABCD，得课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD＝60°.在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝23.∴P(0，0，23)．(2)由(...
