第六节椭圆1．椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)图形性质范围x∈[－a，a]y∈[－b，b]x∈[－b，b]，y∈[－a，a]对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点，顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[小题体验]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：选C a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.2．已知椭圆的方程为＋＝1(m＞0)，若该椭圆的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是________．解析：由题可得，m2＜16，因为m＞0，所以0＜m＜4.故实数m的取值范围为(0,4)．答案：(0,4)3．(教材习题改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x＞0，所以x＝，∴点P坐标为或.答案：或1．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1(a＞b＞0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[小题纠偏]1．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为()A．5B．3C．5或3D．8解析：选C当m＞4时，m－4＝1，∴m＝5；当0＜m＜4时，4－m＝1，∴m＝3，故m的值为5或3.2．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则F1P·F2A的最大值为()A.B.C.D.解析：选B由椭圆方程知c＝＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)．因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y＝，所以y0＝±.设P(x1，y1)，则F1P＝(x1＋1，y1)，F2A＝(0，y0)，所以F1P·F2A＝y1y0.因为点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，故F1P·F2A的最大值为.[题组练透]1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋y2＝1或＋＝1D．以上答案都不对解析：选C直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.2．(易错题)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为________________．解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝1[谨记通法]求椭圆标准方程的2种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)[典例引领]1．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为()A．9,12B．8,11C．8,12D．10,12解析：选C如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝(|PM|＋|MF1|)＋(|PN|＋|NF2|)－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12.2．F1，F2是椭圆...
