1.3二项式定理(通用)VIP免费

1.3.1二项式定理安居育才中学张恒义1.理解二项式定理及二项展开式的特征,掌握二项展开式的通项.2.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式。3.正确运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数.学习目标问题1：我们学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．问题2：上述两个等式的右侧有何特点？问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a＋b)3的展开式有项，每项的次数是；(a＋b)4的展开式有项，每项的次数为。探究问题435440413222334444444abCaCabCabCabCb.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？能，(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋Cn2an－2b2+…＋Cnnbn.1.二项式定理公式(a＋b)n＝所表示的规律叫做二项式定理．2．二项式系数：；C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cn－1nabn－1＋Cnnbn理解新知Ckn(k∈N)二项展开式的特点(1)(a＋b)n的二项展开式中共有项；(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n；(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1，直到n；n＋13.二项展开式的通项公式：(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)它是展开式的第项.Tk＋1＝Cknan－kbkk＋1理解新知二项展开式的通项公式的特点(1)通项Tk＋1＝Cknan－kbk是(a＋b)n的展开式的第(k＋1)项，这里k＝0,1，…，n，该项的二项式系数是Ckn而不是Ck＋1n;(2)字母a的次数是组合数下、上标的差，字母b的次数和组合数上标相同，a与b次数之和为n；(3)二项式(a＋b)n的通项Cknan－kbk和(b＋a)n的展开式的通项Cknbn－kak是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的；精讲例题例1（1）求(x－12x)4的展开式．（2）化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn.题型一二项式定理的正用、逆用（1）【思路】解答本题可先把x看成a，－12x看成b，直接用二项式定理展开，也可以先对x－12x化简再展开．（2）【思路】解答本题可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【解析】(x－12x)4＝C04(x)4－C14(x)3·12x＋C24(x)2·(12x)2－C34x(12x)3＋C44(12x)4＝x2－2x＋32－12x＋116x2.【解析】原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1·(－1)＋C2n(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋Ckn(x＋1)n－k·(－1)k＋…＋Cnn·(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.规律方法1、(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.2、本题是二项式定理的逆用，需要熟悉二项展开式的每个单项式的结构，若对公式还不很熟悉，可先把x＋1换元为a，再分析结构形式，则变得简单些．跟踪训练1（1）求2x－32x24的展开式．（2）设n为自然数，化简C0n·2n－C1n·2n－1＋…＋(－1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn.【解析】（1）法一：2x－32x24＝C04(2x)4＋C14(2x)3·－32x2＋C24(2x)2－32x22＋C34(2x)－32x23＋C44－32x24＝16x4－48x＋54x2－27x5＋8116x8.法二：2x－32x24＝4x3－32x24＝116x8(4x3－3)4＝116x8＝16x4－48x＋54x2－27x5＋8116x8.（2）原式＝C0n·2n·10－C1n2n－1·11＋…＋(－1)k·Ckn2n－k＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.例3(1)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()A．80B．40C．20D．10题型二利用通项公式求二项展开式中的特定项【解析】 (1＋2x)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(2x)r＝2rCr5·xr，令r＝2，得T3＝22C25·x2＝40x2，故x2的系数为40，故选B.【答案】B(2)x(x－2x)7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)【解析】原问题等价于求(x－2x)7的展开式中x3的系数，(x－2x)7的通项Tr＋1＝Cr7x7－r(－2x)r＝(－2)rCr7x7－2r，令7－2r＝3，得r＝2，∴x3的系数为(－2)2C27＝84，即x(x－2x)7的展开式中x4的系数为84.【答案】84规律方法通项公式的应用求...