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掌握三种证明不等式的利器证明不等式的方法是名目繁多的，所使用的方法可以涉及到函数、数列、三角函数、向量等许多方面的知识点，同时掌握好证明不等式的方法对于加深理解这些知识点又起着深化作用。一．利用均值定理证明不等式例1．已知：（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证：2yxbabayx.分析：本题结论中，注意yxbabayx与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a＋b≥2ab，但要注意条件a、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明yxbabayx与为正数开始证题.证明：∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx）∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx∴ax－ay＋by－bx＞0∴（ax－bx）－（ay－by）＞0∴（a－b）（x－y）＞0，即a－b与x－y同号∴yxbabayx与均为正数∴yxbabayxyxbabayx2＝2(当且仅当yxbabayx时取“＝”号)∴yxbabayx≥2点评：我们在运用重要不等式a2＋b2≥2ab时，只要求a、b为实数就可以了奎屯王新敞新疆而运用定理：“abba2”时，必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断xyab与abxy是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.跟踪训练：已知a,b,c,d都是正数，求证：abcdbdaccdab4))((证明：此题要求我们注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0奎屯王新敞新疆得0,2abcdabcd0.2acbdacbd由不等式的性质定理4的推论1，得()().4abcdacbdabcd即abcdbdaccdab4))((.用心爱心专心二.利用向量知识证明不等式.例2.证明：222221212121yxyxyyxx分析：用代数方法来证明该题是较常规的方法，但步骤却比较繁琐.若从2121yyxx联想到向量的数量积，由2121yx联想到用向量的模来证明，那么问题就简单明了拉.证明：设则,,,2211yxbyxababacosba.222221212121yxyxyyxx点评：利用向量的数量积来证明，即简捷又干脆，证明不等式真可谓干净利落.希望同学们要学会掌握这一证明不等式的利器.跟踪训练：设cacbbacba411,证明。证明：设cbbaqcbbap1,1,,则由222qpqp得：21111cbbacbba=4.即：.411cacbba三．构造函数证明不等式证明不等式可以看成是一个函数的自变量取了两个值，其中一个值对应的函数值大于另一个值对应的函数值.例3.若-1cabcab,1,1,1,,证明：均为实数，且cbacba.分析：证明不等式可以看成是一个函数的自变量取了两个值，其中一个值对应的函数值大于另一个值对应的函数值.证明:设.1,1,1xbcxbaxfy,01111,01111cbbccbfcbbccbf故线段轴上方在xxbcxcby1,1,1,1a-110cabcabaf即.点评：函数思想是一种既重要又普遍的数学工具.养成用函数思想去观察问题的习惯对于我们的培养数学思维是有极大帮助的.不等式这一章也不例外，不等式中的许多问题都可以用函数用心爱心专心的观点去观察、去分析、去讨论.跟踪训练：已知mccmbbmaamcbaABC为正数，求证：且的三边长为,,.证明：原不等式：左=mbabambabmbaambbmaa.构造函数：01xmxmmxxxf，可见该函数在,0上是增函数.mccmbabacfbafcba即：.于是mccmbbmaa.用心爱心专心