反证法证明题简单VIP免费

反证法证明题例1.已知A，B，C为ABC内角.求证：A，B，C中至少有一个不小于60o.证明：假设ABC的三个内角A，B，C都小于60o，即A60o，B60o，C60o，所以O180ABC，与三角形内角和等于180o矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例2.已知0a，证明x的方程axb有且只有一个根.证明：由于0a，因此方程axb至少有一个根bxa.假设方程axb至少存在两个根，不妨设两根分别为12,xx且12xx，则12,axbaxb，所以12axax，所以12()0axx.因为12xx，所以120xx，所以0a，与已知0a矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例3.已知332,ab求证2ab.证明：假设2ab，则有2ab，所以33(2)ab即3238126abbb，所以323281266(1)2abbbb.因为26(1)22b所以332ab，与已知332ab矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.例4.设na是公比为的等比数列，nS为它的前n项和.求证：nS不是等比数列.证明：假设是nS等比数列，则2213SSS，即222111(1)(1)aqaaqq.因为等比数列10a，所以22(1)1qqq即0q，与等比数列0q矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例5.证明2是无理数.证明：假设2是有理数，则存在互为质数的整数m，n使得2mn.所以2mn即222mn，所以2m为偶数，所以m为偶数.所以设*2()mkkN，从而有2242kn即222nk.所以2n也为偶数，所以n为偶数.与m，n互为质数矛盾.所以假设不成立，所求证2是无理数成立.例6.已知直线,ab和平面，如果,ab，且//ab，求证//a。证明：因为//ab,所以经过直线a,b确定一个平面。因为a，而a，所以与是两个不同的平面．因为b，且b，所以bI.下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a与平面有公共点P，则PbI，即点P是直线a与b的公共点，这与//ab矛盾．所以//a.例7．已知01,(2b)a>1,(2c)b>1，则(2a)c(2b)a(2c)b>1⋯①又因为设00，且x+y>2，则xy1和yx1中至少有一个小于2证明：假设xy1≥2，yx1≥2，因为x,y>0，所以12,12yxxy，可得x+y≤2与x+y>2矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.例9．设041,(1b)c>41,(1c)a>41,则三式相乘：ab<(1a)b?(1b)c?(1c)a<641①又∵0