浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解 第2讲等差数列及其前n项和VIP免费

浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解第2讲等差数列及其前n项和1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义等差数列如何定义的？提示：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．定义中的常数叫什么？提示：公差．温馨提示：(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列(但可以说从第3项或第4项起是一个等差数列)；(2)概念中的“同一个常数”十分重要．如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，但不是同一个常数，那么这个数列就不是等差数列．(2)等差中项什么是等差中项？提示：由三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，即A＝.2．通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝a1＋(n－1)d，n∈N*.3．等差数列的前n项和已知条件首项a1，公差d首项a1，末项an选用公式Sn＝na1＋dSn＝温馨提示：在d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为，且常数项为0.4．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．1．(2014·海淀区高三年级第二学期期中练习)等差数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为()A．14B．18C．21D．27解析：选A.依题意得，由此解得d＝1，a1＝2，a6＝a1＋5d＝7，a1a6＝14，故选A.2．(2013·高考安徽卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6B．－4C．－2D．2解析：选A.由等差数列性质及前n项和公式，得S8＝＝4(a3＋a6)＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，所以公差d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.3．(2014·深圳市高三年级第一次调研考试)等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为()A．S7B．S6C．S5D．S4解析：选C. ，∴，∴Sn的最大值为S5.4．(2013·高考重庆卷)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.解析： a1，a2，a5成等比数列，∴a＝a1a5，∴(1＋d)2＝1×(4d＋1)，∴d2－2d＝0. d≠0，∴d＝2.∴S8＝8×1＋×2＝64.1答案：645．在等差数列40,37,34，…中，第一个负数项是________．解析： a1＝40，d＝37－40＝－3，∴an＝40＋(n－1)×(－3)＝－3n＋43，令an<0，即－3n＋43<0，解得n>，故第一个负数项是第15项，即a15＝－3×15＋43＝－2.答案：－2等差数列的判断与证明(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.求证：是等差数列．(2)两个正项数列{an}，{bn}(n∈N*)中，已知an，b，an＋1成等差数列，b，an＋1，b成等比数列，证明：数列{bn}是等差数列．[证明](1) an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.∴－＝2(n≥2)．由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．(2)由题意知又 {an}，{bn}为正项数列，∴an＋1＝bn·bn＋1，代入①式得2b＝bn－1·bn＋bn·bn＋1，∴2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，∴数列{bn}是等差数列．等差数列的判定方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．1．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bn＝(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．证明：设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n(n－1)d，∴bn＝＝a1＋(n－1)d.法一：bn＋1－bn＝a1＋nd－a1－(n－1)d＝(常数)，∴数列{bn}是等差数列．法二：bn＋1＝a1＋nd，bn＋2＝a1＋(n＋1)d，∴bn＋2＋bn＝a1＋(n＋...