浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解 正弦定理和余弦定理VIP专享VIP免费

浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C．变形形式a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝，sinB＝，sinC＝；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；＝.cosA＝；cosB＝；cosC＝.2.正弦定理解决的问题有哪两类？提示：(1)已知两角和任一边，求其他边和角；(2)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角．3．余弦定理解决的问题有哪三类？提示：(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他角和边．温馨提示：解斜三角形的类型：(1)已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解．(2)已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在△ABC中，已知a、b和角A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解个数一解两解一解一解上表中A为锐角时，a＜bsinA时，无解；A为钝角时，a＝b，a＜b均无解．(3)已知三边，用余弦定理有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．4．三角形面积设△ABC的三边分别为a、b、c，所对的三个角分别为A、B、C，其面积为S.(1)S＝ah(h为BC边上的高)；(2)S＝absinC.1．(2013·高考北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝()A.B.C.D．1解析：选B.在△ABC中，由正弦定理＝，得sinB＝＝＝.2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定解析：选B. bsinA＝12＜a＜b.∴三角形的个数有两个．3．(2014·兰州调研)在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为()A．3B．2C．4D.解析：选C. cosC＝，∴sinC＝，∴S△ABC＝absinC＝×3×2×＝4.14．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60°＝ac，即a2－2ac＋c2＝0，∴a＝c.又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形5．(2013·高考安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.解析：由3sinA＝5sinB，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，所以cosC＝＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝.答案：利用正、余弦定理解三角形(2013·高考山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．[解](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b＝2，a＋c＝6，cosB＝，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sinB＝＝，由正弦定理得sinA＝＝.因为a＝c，所以A为锐角．所以cosA＝＝.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．1．(2012·高考浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解：(1)由bsinA＝acosB及正弦定理＝，得sinB＝cosB.所以tanB＝，所以B＝.(2)由sinC＝2sinA及＝，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝，c＝2.利用正、余弦定理判定三角形的形状在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．[解](1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，2即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝.因为0°