第三节基本不等式1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：____________．(2)等号成立的条件：当且仅当_________时等号成立．(3)其中a＋b2称为正数a，b的__________，ab称为正数a，b的_____________．a＞0，b＞0a＝b算术平均数几何平均数2．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)．那么当_________时，x＋y有最小值2P.(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)．那么当x＝y时，xy有最大值S24.(简记：“和定积最大”)x＝y3．常用不等式(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．(2)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R)．(3)(a＋b2)2≤a2＋b22(a，b∈R)．(4)ba＋ab≥2(a，b同号)．2ab1．当利用基本不等式求最大(小)值时，若等号取不到，如何处理？【提示】当等号取不到时，利用函数的单调性求解．2．设a＞0，b＞0，你能比较a2＋b22与21a＋1b的大小吗？【提示】21a＋1b＝2aba＋b≤2ab2ab＝ab，且a2＋b22≥2ab2＝ab，∴a2＋b22≥21a＋1b.1．(人教A版教材习题改编)设0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时，x的值为()A.13B.12C.34D.23【解析】 0＜x＜1，∴x(3－3x)≤3·(x＋（1－x）2)2＝34，当且仅当x＝1－x，即x＝12时等号成立．【答案】B2．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是()A．lg(x2＋14)>lgx(x>0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋1>1(x∈R)【解析】应用x＋y2≥xy(x＞0，y＞0)(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x>0时，x2＋14≥2·x·12＝x，所以lg(x2＋14)≥lgx(x>0)，故选项A不正确；当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有1x2＋1＝1，故选项D不正确．【答案】C3．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．【解析】 x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．【答案】34．(2013·揭阳城质检)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品应为________件．【解析】设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝800x＋x8≥2800x·x8＝20.当且仅当800x＝x8(x＞0)，当且仅当x＝80时，“＝”成立．【答案】80(1)已知0＜x＜25，则y＝2x－5x2的最大值为________．(2)(2012·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．6【审题视点】(1)凑和为定值，添配系数；(2)将条件变形35x＋15y＝1，然后注意“1”的代换．【尝试解答】(1)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝15·5x·(2－5x)， 0＜x＜25，∴5x＜2，2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤(5x＋2－5x2)2＝1，则y≤15.当且仅当5x＝2－5x，即x＝15时等号成立．∴y＝2x－5x2的最大值ymax＝15.(2)由x＞0，y＞0，且x＋3y＝5xy，得35x＋15y＝1.∴3x＋4y＝(3x＋4y)(35x＋15y)＝135＋3x5y＋12y5x≥135＋23x5y·12y5x＝5，当且仅当x＝2y＝1时，等号成立．∴3x＋4y的最小值为5.【答案】(1)15(2)C(1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，且3x＋4y的最小值是________．(2)(2013·深圳调研)设x，y为实数，若x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．【解析】(1) x＞0，y＞0，x＋y＝1，∴3x＋4y＝(x＋y)(3x＋4y)＝3yx＋4xy＋7≥23yx·4xy＋7＝7＋43，当且仅当3yx＝4xy且x＋y＝1，即x＝－3＋23，y＝4－23时等号成立，∴3x＋4y的最小值是7＋43.(2)由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋y)2－xy，∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋（x＋y）24，解得－233≤x＋y≤233，∴x＋y的最大值为233.【答案】(1)7＋43(2)233已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)1a＋1b＋1ab≥8；(2)(1＋1a)(1＋1b)≥9.【审题视点】(1)第(1)小题把1a＋1b变形为1ab，或把1ab变形为1a＋1b.(2)第(2)小题把不等式左边展开，利用第(1)小题的结论．【尝试解答】(1)1a＋1b＋1ab＝2(1a＋1b)， a＋b＝1，a>0，b>0，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4，∴1a＋1b＋1ab≥8(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．(2)法一 a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋1...
