习题精解1-1某质点的速度为jtiv82,已知t=0时它经过点(3,7),则该质点的运动方程为()A.jtit242B.jtit74322C.j8D.不能确定解:本题答案为B.因为dtrdv所以dtjtird82于是有dtjtirdtrr0820即jtitrr2042亦即jtitjir24273故jtitr743221-2一质点在平面上作曲线运动,1t时刻位置矢量为jir621,2t时刻的位置矢量为jir422,求:(1)在12ttt时间内质点的位移矢量式;(2)该段时间内位移的大小和方向;(3)在坐标图上画出21,rr及r。解(1)在12ttt时间内质点的位移矢量式为mjirrr2412(2)该段时间内位移的大小mr522422该段时间内位移的方向与轴的夹角为6.2642tan1(3)坐标图上的表示如图1.1所示1-3某质点作直线运动,其运动方程为214xtt,其中x以m计,t以s计,求:(1)第3s末质点的位置;(2)头3s的位移大小;(3)头3s内经过的路程。解(1)第3s末质点的位置为2(3)14334()xm(2)头3s的位移大小为(3)03()xxm(3)因为质点做反向运动是有()0vt,所以令0dxdt,即420,2tts因此头3s内经过的路程为(3)(2)(2)(0)45515()xxxxm1-4已知某质点的运动方程为22,2xtyt,式中t以s计,x和y以m计。(1)计算并图示质点的运动轨迹;(2)求出1ts到2ts这段时间内质点的平均速度;(3)计算1s末2s末质点的速度;(4)计算1s末和2s末质点的加速度。解(1)由质点运动的参数方程22,2xtyt消去时间参数t得质点的运动轨迹为2204xyx运动轨迹如图1.2(2)根据题意可得到质点的位置矢量为2(2)(2)rtitj所以1ts到2ts这段时间内质点的平均速度为1(2)(1)23()21rrrvijmst?(3)由位置矢量求导可得质点的速度为2(2)vritj所以末和末的质点速度分别为1(1)22()vijms?和1(2)24()vijms?(4)由速度求导可得质点的加速度为2avj所以末和末质点的加速度为1(1)(2)2()aajms?1-5湖中有一小船,岸边有人用绳子跨过离河面高H的滑轮拉船靠岸,如图1.3所示。设绳子的原长为0l,人以匀速0v拉绳,使描述小船的运动。解建立坐标系如图1.3所示。按题意,初始时刻(t=0),滑轮至小船的绳长为0l,在此后某时刻t,绳长减小到0lvt,此刻船的位置为2200()xlvtH这就是小船的运动方程,将其对时间求导可得小船的速度为0002200()cos()lvtvvdxvdtlvtH将其对时间求导可得小船的加速度为222200332200()vHvHdvadtxlvtH其中负号说明了小船沿x轴的负向(即向岸靠拢的方向)做变加速直线运动,离岸越近(x越小),加速度的绝对值越大。1-6大马哈鱼总是逆流而上,游到乌苏里江上游去产卵,游程中有时要跃上瀑布。这种鱼跃出水面的速度可达321kmh?。它最高可跃上多高的瀑布?和人的跳高记录相比如何?解鱼跃出水面的速度为11328.89vkmhms??,若竖直跃出水面,则跃出的高度24.03()2vhmg此高度和人的跳高记录相比较,差不多是人跳高的两倍。1-7一人站在山坡上,山坡鱼水平面成角,他扔出一个初速度为0v的小石子,0v与水平面成角,如图1.4所示。(1)若忽略空气阻力,试证小石子落到了山坡上距离抛出点为S处,有2022sincoscosvSg。(2)由此证明对于给定的0v和值时,S在42时有最大值20max2sin1cosvSg。解(1)建立如图1.4所示的坐标系,则小石子的运动方程为020cos1sin2xvtyvtgt当小石子落在山坡上时,有cossinxSyS联立以上四个方程,求解可得小石子在空中飞行的时间(即从抛出到落在山坡上是所经历的时间)t所满足的方程为202sintancos0vttg解之得02sintancosvtg但0t时不可能的,因0t时小石子刚刚抛出,所以小石子落在山坡的距离为2002cos2sincoscoscoscosvtvxSg(2)给定0v和值时,有SS,求S的最大值,可令0dSd,即2022cos20cosvg亦即42此时220dSd,所以S有最大值,且最大值为20max2sin1cosvSg1-8一人扔石子的最大出手速度为1025vms?。他能击中一个与他的手水平距离为50Lm,高为13hm处的目标吗?在这个距离上他能击中的最大高度是多少?解设抛射角为,则已知条件如图1.5所示,于是石子的运动方程为020(cos)1sin2xvtyvtgt可得到石子的轨迹方程为2220tan2cosgxyxv假若石子在给定距离上能击中目标,可令xL此时有2220tan2cosgLyLv即2222200tantan22gLgLyLvv以tan为函数,令0tandyd,有20tanvgL,此时220tandyd,即在给定已知条件及给定距离上能够击中目标的最大高度为...