1与圆有关的证明与计算1.在△ABC中，∠ABC＝45°，∠C＝60°，⊙O经过点A、B，与BC交于点D，连接AD.(Ⅰ)如图①，若AB是⊙O的直径，交AC于点E，连接DE，求∠ADE的大小．(Ⅱ)如图②，若⊙O与AC相切，求∠ADC的大小．第1题图解：(Ⅰ)如解图①，连接BE， ∠ABC＝45°，∠C＝60°，∴∠BAC＝75°. AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴∠ABE＝∠AEB－∠BAC＝15°. ∠ABE＝∠ADE，∴∠ADE＝15°；(Ⅱ)如解图②，连接OA，OD， AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°. ∠ABC＝45°，∴∠AOD＝90°. OA＝OD，∴∠OAD＝45°.∴∠DAC＝∠OAC－∠OAD＝45°. ∠C＝60°，∴∠ADC＝75°.2第1题解图2.如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，点C在AB延长线上，且BC＝2，点D是⊙O上一点，连接CD.(Ⅰ)如图①，若CD与⊙O相切，求CD的长；(Ⅱ)如图②，若CD与⊙O的另一个交点为点E，且E为CD的中点，连接OD、AE交于点F，求CD的长．第2题图解：(Ⅰ)如解图①，连接OD， CD与⊙O相切，∴OD⊥CD，即∠ODC＝90°.又 AB是⊙O的直径，且AB＝4，BC＝2，∴OD＝OB＝OA＝2，OC＝4.∴Rt△COD中，CD＝42－22＝23；(Ⅱ)如解图②，连接BE， AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°. 点E为CD的中点，BC＝OB＝OD＝2，∴BE∥OD，BE＝12OD＝1.∴∠AFO＝∠AEB＝90°.∴OD⊥AE，AF＝EF.又 O是AB的中点，∴OF＝12BE＝12.3∴DF＝OD－OF＝2－12＝32. Rt△ABE中，AE＝AB2－BE2＝15，∴EF＝152.∴Rt△DEF中，DE＝EF2＋DF2＝6.∴CD＝2DE＝26.第2题解图3.如图，已知平行四边形ABCD，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，且交AD于点F.(Ⅰ)如图①，连接BE，求∠ABE的大小；(Ⅱ)如图②，连接CF，交⊙O于点G，连接AG，若∠DFC＋∠DCF＝70°，求∠AGF的大小．第3题图解：(Ⅰ)如解图①，连接OE、AE， ⊙O与CD相切于点E，∴OE⊥CD. 四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD.∴OE⊥AB. AB是⊙O的直径，∴OA＝OB，∠AEB＝90°.∴AE＝BE.∴∠ABE＝∠BAE＝45°；(Ⅱ) 四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD.∴∠BCF＝∠DFC.4 ∠DFC＋∠DCF＝70°，∴∠BCF＋∠DCF＝70°.∴∠BCD＝70°.∴∠BAD＝70°.如解图②，连接BF， AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°.∴∠ABF＝90°－70°＝20°.∴∠AGF＝∠ABF＝20°.第3题解图4.已知AB是⊙O的弦，C是劣弧AB︵的中点，D是⊙O上一点，CD交AB于点E，点P为BA的延长线上一点，PD＝PE.(Ⅰ)如图①，求证：PD是⊙O的切线；(Ⅱ)如图②，当AB为⊙O的直径时，连接BC，若tan∠BCD＝2，求tan∠APD的值．第4题图(Ⅰ)证明：如解图①，连接OC、OD， 点C是劣弧AB︵的中点，∴OC⊥AB. OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC. PD＝PE，∴∠PDE＝∠PED.又 ∠PED＝∠CEB，∠CEB＋∠OCD＝90°，5∴∠PDE＋∠ODC＝90°，即∠PDO＝90°. OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(Ⅱ)解：如解图②，连接AD、OD、BD， AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∠BAD＝∠BCD，∴tan∠BAD＝BDAD＝tan∠BCD＝2. PD是⊙O的切线，∴∠ODP＝90°.∴∠PBD＝∠ADP，又 ∠P＝∠P，∴△APD∽△DPB.∴PAPD＝PDPB＝ADDB＝12.设PA＝a，则PD＝2a，PB＝4a，则AB＝3a，∴OD＝32a.∴tan∠APD＝ODPD＝34.图①图②第4题解图5.已知BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为A，AD交CB的延长线于点D，连接AB，AO.(Ⅰ)如图①，求证：∠OAC＝∠DAB；(Ⅱ)如图②，若AD＝AC，E是⊙O上一点，连接AE、BE，求∠E的大小．6第5题图(Ⅰ)证明： AD是⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AO.∴∠DAO＝90°.∴∠DAB＋∠BAO＝90°. BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.∴∠BAO＋∠OAC＝90°.∴∠OAC＝∠DAB；(Ⅱ)解： OA＝OC，∴∠OAC＝∠C. AD＝AC，∴∠D＝∠C.∴∠OAC＝∠D. ∠OAC＝∠DAB，∴∠DAB＝∠D. ∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠D. ∠D＝∠C，∴∠ABC＝2∠C. ∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠C＝90°.∴2∠C＋∠C＝90°.∴∠C＝30°.∴∠E＝∠C＝30°.6.已知?ABCD的边AD与经过A、B、C三点的⊙O相切于点A.(Ⅰ)如图①，连接AC，若∠D＝32°，求∠ACD的大小；(Ⅱ)如图②，延长DC交⊙O于点E，连接BE，若sin∠E＝1213，⊙O的半径为13，求BC的长．7第6题图(Ⅰ)如解图①，连接OA， AD与⊙O相切于点A，∴OA⊥AD. 四边形ABC...
