专题12 几何最值之将军饮马知识精讲-冲刺2020年中考几何专项复习VIP免费

几何最值之将军饮马知识精讲什么是将军饮马？传闻在亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名字叫海伦，有一天，一位罗马将军专程去拜访他，并向他请教一个百思不得其解的问题。如图，将军每天从军营A出发，先到河边饮（yin）马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使得行走的路程最短？会议A军营•河流据说，海伦稍加思索就解决了它，此后，这个问题就被称为“将军饮马”，并流传至今.为了方便，接下来我们将这一系列问题简化为一般的数学问题进行再次研究.一、两点一线1.如图，在直线,,'两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线;'上找到一点P，使得PA+PB的值最小？A思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA+PB的值最小，即为AB的长度.构图：连接AB，AB与$的交点即为点P,如图所示:2.如图，在直线;'同侧有A、B两个定点，怎样在直线/上找到一点P,使得PA+PB的值最小?A思路：和上题相比，这个问题就难在PA＋PB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段.构图：作点A关于『的对称点A',连接A'B，A'B与直线？的交点即为点P,如图所示：3.如图，在直线f同侧有A、B两个定点，怎样在直线，上找到一点P,使得的值最大?构图：连接AB并延长与』的交点即为点P,如图所示:4.如图，在直线/两侧各有一个定点，分别是点A、B,怎样在直线；'上找到一点P,使得|凡1—厂打|的值最大？A«构图：作点B关于直线J的对称点B'，连接AB'并延长与丿的交点即为点P,如图所示:5.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线:'上找到一点P,使得|rj.i-的值最小?构图：连接AB,作AB的垂直平分线与直线/交于点P,此时|L〔一厂幼为0,如图所示:定两动1.如图，点P在ZAOB的内部，怎么样在OA上找一点C,在OB上找一点D,使APCD的周长最小?构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P'、P'',连接P'P'',交OA、OB于点C、D,此时△PCD的周长最小，P'P''即为△PCD的周长最小值，如图所示:2.如图，点P在ZAOB的内部，怎么样在OA上找一点C,在OB上找一点D,使PD+CD的值最小?构图：作点P关于OB的对称点P',过点P'作P'C丄OA交OB于点D,交OA于点C,此时PD+CD的值最小，P'C即为PD+CD的值最小.3.如图，点P在ZAOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D,使得△PCD的周长最小?构图：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P'、Q'，连接P'Q'分别交OA、OB于点C、D,此时△PCD的周长最小值为PQ+P'Q'，如图所示:三、两点两线在直线m、n上分别找两点P、Q,使得PA+PQ+QB的值最小.1)A、B两点都在直线的外侧2）一个点在内侧，一个点在外侧3）两个点都在内侧