导数与不等式的证明1
【2013湖南文科】已知函数f（x）=xex21x1
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）(x1≠x2)时，x1+x2＜0
【解析】(Ⅰ)
)123)12)1()1)11()('222222xxxxexxexxexxfxxx（（（;)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当xfyxfx单调递减）时，，当)(,0)('0[xfyxfx
所以，）上单调递减，上单调递增；在，在（0[]0-)(xxfy
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x)0,存在唯一的s,使
(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为,证明:当时,有
(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，令f′(x)＝0，得1ex
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x10,e1e1,ef′(x)－0＋f(x)极小值所以函数f(x)的单调递减区间是10,e，单调递增区间是1,e
(2)证明：当0＜x≤1时，f(x)≤0
设t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tlnet－t＝t(e2t－1)＞0
故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．(3)证明：因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，从而2ln()lnlnlnlnln()ln(ln)2lnln(ln)2lngtsssutfsssssuu，其中u＝lns
要使2ln()15ln2gtt成立，只需0ln2uu
当t＞e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立．另一方面，令F(u)＝ln2uu，u
