...下载可编辑.导数与不等式的证明1.【2013湖南文科】已知函数f（x）=xex21x1.（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）(x1≠x2)时，x1+x2＜0.【解析】(Ⅰ).)123)12)1()1)11()('222222xxxxexxexxexxfxxx（（（;)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当xfyxfx单调递减）时，，当)(,0)('0[xfyxfx.所以，）上单调递减，上单调递增；在，在（0[]0-)(xxfy。（Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x)0,存在唯一的s,使.(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为,证明:当时,有.(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，令f′(x)＝0，得1ex.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x10,e1e1,ef′(x)－0＋f(x)极小值所以函数f(x)的单调递减区间是10,e，单调递增区间是1,e.(2)证明：当0＜x≤1时，f(x)≤0.设t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tlnet－t＝t(e2t－1)＞0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．(3)证明：因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，从而2ln()lnlnlnlnln()ln(ln)2lnln(ln)2lngtsssutfsssssuu，其中u＝lns.要使2ln()15ln2gtt成立，只需0ln2uu.当t＞e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立．另一方面，令F(u)＝ln2uu，u＞1.F′(u)＝112u，令F′(u)＝0，得u＝2.当1＜u＜2时，F′(u)＞0；当u＞2时，F′(u)＜0.故对u＞1，F(u)≤F(2)＜0.因此ln2uu成立．综上，当t＞e2时，有2ln()15ln2gtt.2l()nfxxx()tfs()sgt2>et2ln()15ln2gtt...下载可编辑.3【2013天津文科】设[2,0]a,已知函数332(5),03,0(,).2xfaxxaxxxxxa(Ⅰ)证明()fx在区间(－1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;(Ⅱ)设曲线()yfx在点(,())(1,2,3)iiixfxiP处的切线相互平行,且1230,xxx证明12313xxx.(1)设函数f1(x)＝x3－(a＋5)x(x≤0)，f2(x)＝3232axxax(x≥0)，①f1′(x)＝3x2－(a＋5)，由a∈[－2,0]，从而当－1＜x＜0时，f1′(x)＝3x2－(a＋5)＜3－a－5≤0，所以函数f1(x)在区间(－1,0]内单调递减．②f2′(x)＝3x2－(a＋3)x＋a＝(3x－a)(x－1)，由于a∈[－2,0]，所以当0＜x＜1时，f2′(x)＜0；当x＞1时，f2′(x)＞0.即函数f2(x)在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．综合①，②及f1(0)＝f2(0)，可知函数f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．(2)由(1)知f′(x)在区间(－∞，0)内单调递减，在区间306a，内单调递减，在区间36a，内单调递增．因为曲线y＝f(x)在点Pi(xi，f(xi))(i＝1,2,3)处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且f′(x1)＝f′(x2)＝f′(x3)．不妨设x1＜0＜x2＜x3，由213x－(a＋5)＝223x－(a＋3)x2＋a＝233x－(a＋3)x3＋a，可得222333xx－(a＋3)(x2－x3)＝0，解得x2＋x3＝33a，从而0＜x2＜36a＜x3.设g(x)＝3x2－(a＋3)x＋a，则36ag＜g(x2)＜g(0)＝a.由213x－(a＋5)＝g(x2)＜a，解得253a＜x1＜0，所以x1＋x2＋x3＞25333aa，设t＝253a，则a＝2352t，因为a∈[－2,0]，所以t∈315,33，故x1＋x2＋x3＞2231111(1)6233ttt，即x1＋x2＋x3＞13....下载可编辑.4【2014天津理科】已知函数()xfxxae=-()aR?，xR?.已知函数()yfx=有两个零点12,xx，且12xx<.（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明21xx随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明12xx+随着a的减小而增大.（Ⅰ）解：由()xfxxae=-，可得()1xfxae￠=-.下面分两种情况讨论：（1）0a￡时()0fx￠>在R上恒成立，可得()fx在R上单调递增，不合题意.（2）0a>时，由()0fx￠=，得lnxa=-.当x变化时，()fx￠，()fx的变化情况如下表：x(),lna-?lna-()ln,a-+￥(...
