圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素(点，线，图形或是参数)存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替(1)点：坐标(x,y)00(2)直线：斜截式或点斜式(通常以斜率为未知量)(3)曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：(1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。(2)核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。(3)核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程(组)，运用方程思想求解。二、典型例题：例1:已知椭圆C:+—1(a>b>0)的离心率为二厂，过右焦点F的直线1与C相交a2b23于A,B两点，当1的斜率为1时，坐标原点O到1的距离为丁。(1)求a,b的值(2)C上是否存在点P，使得当1绕F旋转到某一位置时，有OP—OA+OB成立？若存在，求出所有的P的坐标和1的方程，若不存在，说明理由解：(1)e———na:b:c=*3:p'2:1a3dO-—芒解得：c-1<22OP二OA联立直线与椭圆方程：＜则a=*''3c,b-y2c，依题意可得：F(c,0)，当1的斜率为1时l:y二x-cnx-y-c-0=Ub=弋2椭圆方程为：牛+斗-1⑵设P(x0,y0)，A(x1，y1)，B匕打)当1斜率存在时，设l:y-k(x-1)x-x+x〈012…y=y+y012y—k(x—1)消去y可得：2x2+3k2(x-1丿2-6，整理可得:2x2+3y2-6(3k2+2)x2一6k2x+3k2一6-06k26k34kx+x—y+y—klx+x/—2k——2k————123k2+212123k2+23k2+2因为P在椭圆上4k]3k2+2丿.72k4+48k2-6(3k2+2)n24k2(3k2+2)-6(3k2+2):.24k2-6(3k2+2)nk-土、辽当k-^2时，1:y-J2(x-1)，P当k—-\'2时，1:y—-*2(x—1)，P当斜率不存在时，可知1:x-1，A(l,2^|，BI1，-，则P(2,0)不在椭圆上PQ与圆相•••综上所述：l:y=J2(x—1),P:3,-普1或l:y=—y[2(x—1)，Pf1V22丿(22丿例2：过椭圆r:—+鸽=1(a>b>0)的右焦点F的直线交椭圆于A,B两点，F为其左a2b221焦点，已知AFB的周长为8，椭圆的离心率为三-12(1)求椭圆r的方程△(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆r恒有两个交点P,Q，且OP丄OQ?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由AFB的周长可得：4a=8na=21=J3(2)假设满足条件的圆为x2+y2=r2，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内0
