实用标准文案精彩文档必修4平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例1已知(1,2)A，(4,2)B，则把向量AB按向量(1,3)a平移后得到的向量是_____.结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是||ABAB）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点ABC、、共线ABAC、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量记作a.举例2如下列命题：（1）若||||ab，则ab.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形.（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC.（5）若ab，bc，则ac.（6）若//ab，//bc则//ac.其中正确的是.结果：（4）（5）二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；实用标准文案精彩文档2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ij为基底，则平面内的任一向量a可表示为(,)axiyjxy，称(,)xy为向量a的坐标，(,)axy叫做向量a的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理设12,ee同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)，使1122aee.（1）定理核心：1122aλeλe；（2）从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.（3）向量的正交分解：当12,ee时，就说1122aλeλe为对向量a的正交分解．举例3（1）若(1,1)a，(1,1)b，(1,2)c，则c.结果：1322ab.（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是BA.1(0,0)e，2(1,2)eB.1(1,2)e，2(5,7)eC.1(3,5)e，2(6,10)eD.1(2,3)e，213,24e（3）已知,ADBE分别是ABC△的边BC，AC上的中线,且ADa，BEb,则BC可用向量,ab表示为.结果：2433ab.（4）已知ABC△中，点D在BC边上，且2CDDB，CDrABsAC，则rs的值是.结果：0.四、实数与向量的积实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||aa；（2）方向：当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反，当0时，0a，注意：0a.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OAa，OBb，则把(0)AOB称为向量a，b的夹角.实用标准文案精彩文档当0时，a，b同向；当时，a，b反向；当2时，a，b垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量||||cosab叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即||||cosabab.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4（1）ABC△中，||3AB，||4AC，||5BC，则ABBC_________.结果：9.（2）已知11,2a，10,2b，cakb，dab，c与d的夹角为4，则k____.结果：1.（3）已知||2a，||5b，3ab，则||ab____.结果：23.（4）已知,ab是两个非零向量，且||||||abab，则a与ab的夹角为____.结果：30.3.向量b在向量a上的投影：||cosb，它是一个实数，但不一定大于0.举例5已知||3a，||5b，且12ab，则向量a在向量b上的投影为______.结果：125.4.ab的几何意义：数量积ab等于a的模||a与b在a上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：（1）0abab；（2）当a、b同向时，||||abab，特别地，222||||aaaaaa；||||abab是a、b同向的充要分条件；当a、b反向时，||||abab，||||abab是a、b反向的充要分条件；当为锐角时，0a...
