第一部分第五章第23讲命题点1矩形的性质与判定(2018年4考，2017年6考，2016年3考)1．(2017·玉林、崇左9题3分)如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形的个数共有(C)A．5个B．8个C．9个D．11个2．(2018·北部湾经济区12题3分)如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP＝OF，则cos∠ADF的值为(C)A．1113B．1315C．1517D．17193．(2017·河池18题3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是__2__.4．(2016·贺州18题3分)在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F.若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝__62＋3__.(结果保留根号)5．(2018·玉林25题10分)如图，在□ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF.(1)求证：四边形EFNM是矩形；(2)已知：AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长．(1)证明：如答图，过点E，F分别作AD，BC的垂线，垂足分别是G，H. ∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB，∴EG＝ME，EG＝EM′，∴EG＝ME＝EM′＝12MM′，同理可证：FH＝NF＝N′F＝12NN′. CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，∴MM′＝NN′，∴ME＝NF＝EG＝FH.又 MM′∥NN′，MM′⊥CD，∴四边形EFNM是矩形．(2)解： DC∥AB，∴∠CDA＋∠DAB＝180°. ∠3＝12∠CDA，∠2＝12∠DAB，∴∠3＋∠2＝90°.在Rt△DEA中， AE＝4，DE＝3，∴AD＝32＋42＝5. 四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB.又 ∠2＝12∠DAB，∠5＝12∠DCB，∴∠2＝∠5，由(1)知GE＝NF.在Rt△GEA和Rt△NFC中，∠2＝∠5，∠EGA＝∠FNC＝90°，GE＝NF，∴△GEA≌△NFC(AAS)，∴AG＝CN.在Rt△DME和Rt△DGE中，DE＝DE，ME＝GE，∴Rt△DME≌Rt△DGE(HL)，∴DM＝DG，∴DM＋CN＝DG＋AG＝AD＝5，∴MN＝CD－DM－CN＝9－5＝4. 四边形EFNM是矩形，∴EF＝MN＝4.命题点2菱形的性质与判定(2018年3考，2017年6考，2016年5考)6．(2018·河池7题3分)如图，要判定□□ABCD是菱形，需要添加的条件是(D)A．AB＝ACB．BC＝BDC．AC＝BDD．AB＝BC7．(2017·来宾12题3分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC＝8，BD＝6，E是AB的中点，则△OAE的周长是(C)A．18B．16C．9D．88．(2018·贵港11题3分)如图，在菱形ABCD中，AC＝62，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE＋PM的最小值是(C)A．6B．33C．26D．4.59．(2016·钦州16题3分)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__6__.10．(2018·柳州23题8分)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2.(1)求菱形ABCD的周长；(2)若AC＝2，求BD的长．解：(1) 四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴菱形ABCD的周长为2×4＝8.(2) 四边形ABCD是菱形，AC＝2，AB＝2，∴AC⊥BD，AO＝1，∴BO＝AB2－AO2＝22－12＝3，∴BD＝23.11．(2018·北部湾经济区23题8分)如图，在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.(1)求证：□ABCD是菱形；(2)若AB＝5，AC＝6，求□ABCD的面积．(1)证明： 四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D. AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.在△AEB和△AFD中，∠B＝∠D，BE＝DF，∠AEB＝∠AFD，∴△AEB≌△AFD(ASA)，∴AB＝AD，∴□ABCD是菱形．(2)解：如答图，连接BD交AC于O. 四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝12AC＝12×6＝3. AB＝5，AO＝3，∴BO＝AB2－AO2＝52－32＝4，∴BD＝2BO＝8，∴S□ABCD＝12AC·BD＝24.12．(2016·贺州22题9分)如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若AB＝3，∠DCF＝30°，求四边形AECF的面积．(结果保留根号)(1)证明： O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC. 四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO.在△AOF和△COE中，∠AFO＝∠CEO，∠AOF＝∠COE，OA＝OC，...
