抛物线及其性质知识点大全与经典例题及解析VIP免费

1/8抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。【知识梳理】1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp焦点位置X正X负Y正Y负焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px2px2py2py范围0,xyR0,xyR0,yxR0,yxR对称轴X轴X轴Y轴Y轴顶点坐标（0,0）离心率1e通径2p焦半径11(,)Axy12pAFx12pAFx12pAFy12pAFy焦点弦长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yyp焦点弦长AB以AB为直径的圆必与准线l相切2/8的补充11(,)Axy22(,)Bxy若AB的倾斜角为，22sinpAB若AB的倾斜角为，则22cospAB2124pxx212yyp112AFBFABAFBFAFBFAFBFp3．抛物线)0(22ppxy的几何性质：(1)范围因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．(3)顶点（0，0），离心率：1e，焦点(,0)2pF，准线2px，焦准距p．(4)焦点弦：抛物线)0(22ppxy的焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB,则pxxAB21||．弦长|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB，焦点(,0)2pF(1)若AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)Axy，22(,)Bxy，则：2124pxx，212yyp。(2)若AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则22sinPAB（α≠0）。(3)已知直线AB是过抛物线22(0)ypxp焦点F,112AFBFABAFBFAFBFAFBFp(4)焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．(5)两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5．弦长公式：),(11yxA,),(22yxB是抛物线上两点，则221212()()ABxxyy||11||1212212yykxxk【经典例题】（1）抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.3/8【例1】P为抛物线pxy22上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（）.A相交.B相切.C相离.D位置由P确定【解析】如图，抛物线的焦点为,02pF，准线是:2plx.作PH⊥l于H，交y轴于Q，那么PFPH，且2pQHOF.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的中位线，111222MNOFPQPHPF.故以PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】过抛物线022ppxy的焦点F作直线交抛物线于1122,,,AxyBxy两点，求证：（1）12ABxxp（2）pBFAF211【证明】（1）如图设抛物线的准线为l，作1AAl11111,2pABBlBAAx于，则AF，122pBFBBx.两式相加即得：12ABxxp（2）当AB⊥x轴时，有AFBFp，112AFBFp成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：2pykx.代入抛物线方程：2222pkxpx.化简得：222222014pkxpkxk 方程（1）之二根为x1，x2，∴1224kxx.XYPHMNO(,0)2pF:2plx=-22ypx=QXYFA(x,y)11B(x,y)22A1B1l4/8122111212121111112224xxpppppAFBFAABBxxxxxx121222121222424xxpxxppppppxxpxx.故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有pBFAF211成立.（3）切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明：过抛物线22ypx上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）【证明】对方程22ypx两边取导数：22.pyypyy，切线的斜率00xxpkyy.由点斜式方程：20000001pyyxxyypxpxyy20021ypx，代入（）即得：y0y=p（x+x0）（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线...