高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质．考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．§10.排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1.乘法原理、加法原理.2.可．以有．．重复．．元素．．的排列.从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二⋯⋯第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·⋯m=mn..例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：nm种）二、排列.1.⑴对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号mnA表示.⑷排列数公式：),,()!(!)1()1(NmnnmmnnmnnnAm注意：!)!1(!nnnn规定0!=1111mnmnmnmmmnmnmAACAAA11mnmnnAA规定10nnnCC2.含有可重元素．．．．．．的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,⋯...an其中限重复数为n1、n2⋯⋯nk，且n=n1+n2+⋯⋯nk,则S的排列个数等于!!...!!21knnnnn.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(n又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3n.三、组合.1.⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(mnmnCmmnnnAACmnmmmnmn⑶两个公式：①;mnnmnCC②mnmnmnCCC11①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1mn111mnCCC一类是不含红球的选法有mnC）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C1mn，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有Cmn种，依分类原理有mnmnmnCCC11.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.⑸①几个常用组合数公式nnnnnnCCC221011111121153142011112knknknknmnmmnmmmmmmnnnnnnnnCnCknCkCCCCCCCCCCCC②常用的证明组合等式方法例.i.裂项求和法.如：)!1(11)!1(!43!32!21nnn（利用!1)!1(1!1nnnn）ii.导数法.iii.数学归纳法.iv.倒序求和法.v.递推法（即用mnmnmnCCC11递推）如：413353433nnCCCCC.vi.构造二项式.如：nnnnnnCCCC222120)()()(证明：这里构造二项式nnnxxx2)1()1()1(其中nx的系数，左边为22120022110)()()(nnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCC，而右边nnC2四、排列、组合综合.1.I.排列、组合问题几大解题方法及题型：①直接法.②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某)(nmm个元素必相邻的排列有mmmnmnAA11个.其中11mnmnA是一个“整体排列”，而mmA则是“局部排列”.又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为2n...
