放缩法证明数列不等式奇巧积累:（1）)2(111)1(11)1(11112kkkkkkkkkk(2)1211212144441222nnnnn(3))1(21)1(2nnnnn，nnn221(4))2(1)1(1nnnnn(5)naanaaaaaannnnnn22111111例题1.裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例1.已知n∈N*，求n2n131211＜⋯。证明：因为122121nnnnnnn＜（），则11213⋯＜（）（）⋯（）＜1122123221212nnnnn，证毕。2.利用重要不等式放缩.均值不等式利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例7设.)1(3221nnSn求证.2)1(2)1(2nSnnn解析此数列的通项为.,,2,1,)1(nkkkak2121)1(kkkkkk，)21(11nknnkkSk，即.2)1(22)1(2)1(2nnnnSnnn注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2baab，若放成1)1(kkk则得2)1(2)3)(1()1(21nnnkSnkn，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里naanaaaaaannnnnn22111111其中，3,2n等的各式及其变式公式均可供选用。3分项讨论例3已知数列}{na的前n项和nS满足.1,)1(2naSnnn（Ⅰ）写出数列}{na的前3项321,,aaa；（Ⅱ）求数列}{na的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4m，有8711154maaa（04年全国卷Ⅲ）简析（Ⅰ）略，（Ⅱ）.)1(23212nnna；（Ⅲ）由于通项中含有n)1(，很难直接放缩，考虑分项讨论：当3n且n为奇数时12222223)121121(2311213212121nnnnnnnnnaa)2121(2322223123212nnnnn（减项放缩），于是①当4m且m为偶数时maaa11154)11()11(11654mmaaaaa.878321)211(412321)212121(23214243mm②当4m且m为奇数时maaa111541541111mmaaaa（添项放缩）由①知.871111154mmaaaa由①②得证。练习1求证：2222111171234n2．（12分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an=（n≥2）（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前项n和为Tn，求证：Tn＜n+1．分析：（I）利用数列递推式证明数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，再求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）确定数列{bn}的通项，利用裂项法求前项n和为Tn，即可得出结论．解答：（I）解：∵an=，∴Sn﹣Sn﹣1=∴﹣=1（n≥2）∵a1=1，∴=1，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列∴∴Sn=n2∴n≥2时，an=2n﹣1n=1时也满足上式∴an=2n﹣1；（II）证明：bn==1+=1+，∴Tn=n+（1﹣++⋯+）=∵∴Tn＜n+1．点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．正数数列na的前n项的和nS，满足12nnaS，试求：（1）数列na的通项公式；（2）设11nnnaab，数列nb的前n项的和为nB，求证：21nB解：（1）由已知得2)1(4nnaS，2n时，211)1(4nnaS，作差得：1212224nnnnnaaaaa，所以0)2)((11nnnnaaaa，又因为na为正数数列，所以21nnaa，即na是公差为2的等差数列，由1211aS，得11a，所以12nan（2）)121121(21)12)(12(111nnnnaabnnn，所以21)12(2121)1211215131311(21nnnBn4．（本小题满分14分）已知数列na的前n项和为nS，且满足24(1)(1)(2)(N)nnnSnan．（1）求1a，2a的值；（2）求na；（3）设1nnnba，数列nb的前n项和为nT，求证：34nT．解：（1）当=1n时，有2114(11)(+1=1+2aa）（），解得1=8a．当=2n时，有21224(21)(1)(22)aaa，解得2=27a．⋯⋯⋯2分（2）（法一）当2n时，有2(2)4(1)1nnnaSn,⋯⋯⋯⋯⋯①211(1)4(1)nnnaSn．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②①—②得：221(2)(1)41nnnnanaann，即：331(1)=nnanan．⋯⋯5分1223333===1(1)(1)3nnnaaaannn⋯．3=(1)nan(2)n．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分另解：33333121333121(1)42(1)(1)3nnnnnaaannaanaaann．又当=1n时，有1=8a，3=(1)nan．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（3）211111=(1(11nnnbannnnn))，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分1231=nnnTbbbbb⋯2222211111=234(1)nn⋯211111<22323(1)(1)nnnn⋯111111111=()()()()4233411nnnn⋯1113=4214n．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．
