1/6考点专题二平面向量与复数(2)【考情分析】从近四年高考试卷分析来看,本专题知识理科每年考查1—2题,所占分值比例约为4.8%,难易度以容易题、中等题为主,文科每年考查1—2题,所占分值比例约为4.5%,难易度以容易题为主,此知识是高考中的必考内容.此知识在近四年常以填空题、选择题、解答题的形式在高考题中出现,主要考查复数的四则运算,复平面等相关知识.复数在高考试卷中的考查形式比较单一.【知识梳理】[重难点]1.复数的相等:两个复数),(),,(21RdcdiczRbabiaz,当且仅当ca且db时,.21zz特别地,当且仅当0ba时,.0bia2.复数的模:复数),(1Rbabiaz的模记作z或bia,有.22babiaz3.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做共轭复数.复数z的共轭复数记作zz,、z互为共轭复数.如果),(,Rbabiazbiaz,则有Rz的充要条件是zzz;是纯虚数的充要条件是zz且.0z4.复平面在平面直角坐标系中,可以用点),(baZ表示复数),(1Rbabiaz,建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,在复平面上,称x、y轴分别为实轴和虚轴,并且复数集C和复平面内所有的点构成的集合建立一一对应关系.5.实系数一元二次方程实系数一元二次方程在复数集中恒有解,当判别式042acb时,实系数一元二次方程Rcbacbxax,,(02且)0a在复数集中有一对互相共轭的虚数根.2422iabacabx[易错点]2/61.在进行复数计算时,要灵活利用i和)2321(i的性质,会适当变形,创造条件,从而转化为关于i和的计算问题,并注意以下结论的灵活运用:①ii2)1(2;②iiiiii11,11;③)(,1,,13424144Zniiiiiinnnn;④123212i,.01,1232.在进行复数的运算时,不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来,如下面的结论,当Cz时不总是成立的:①nmzzmnnm,()(为分数);②)1(znmzznm;③00212221zzzz,④.22zz【基础练习】1.若复数)3)(1(ibi是纯虚数(i是虚数单位,b为实数),则._____b2.设iiz()2(2为虚数单位),则复数z的模为________.【答案】5(2013江苏)3.已知复数z的共轭复数12zi(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z的共轭复数12zi,则12zi,对应点的坐标为(1,2),故答案为D.(2013福建理)4.已知集合iziM,,2,1为虚数单位,4,3N,4NM,则复数z()iA2.iB2.iC4.iD4.解析:因为ziM,2,1,4,3N,由4NM,得M4,所以4zi,所以iz4.答案:C【命题立意】知识:集合的运算和复数的运算.试题难度:较小.(2013江西理)5.若向量,满足||||,则与所成角的大小为________.【答案】90°(2001上春)6.已知Cz,且22i1,iz为虚数单位,则22iz的最小值是(B)(A)2.(B)3.(C)4.(D)5.(2009上春)7.“22a”是“实系数一元二次方程012axx有虚根”的()(A)必要不充分条件.(B)充分不必要条件.(C)充要条件.(D)既不充分也不必要条件.3/6解:由实系数一元二次方程210xax有虚根,可得240a,即可得(2,2)a, (2,2)[2,2],∴“22a”是“实系数一元二次方程210xax有虚根”的必要不充分条件,故应选A.(2009上文)8.设1z、2z是复数,则下列命题中的假命题是()【答案】D(2013陕西理).A若021zz,则1z2z.B若1z2z,则1z2z.C若21zz,则1z1z2z2z.D若21zz,则2221zz【解析】设12,,zabizcdi若12||0zz,则12||()()zzacbdi,,acbd,所以12zz,故A项正确;若12zz,则,acbd,所以12zz,故B项正确;若12||||zz,则2222abcd,所以1122..zzzz,故C项正确;当12||||zz时,可取izz21,1,显然1,12221zz,即2221zz,假命题.【例题精讲】例1.已知复数1z满足1(2)(1)1zii(i为虚数单位),复数2z的虚部为2,12zz是实数,求2z.(2011上)解:1(2)(1)1zii12zi设22,zaiaR,则12(2)(2)(22)(4)zziaiaai, 12zzR,∴242zi例2.已知z是复数,iziz22、均为实数(i为虚数单位),且复数2)(iaz在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.(2005上春)设R)yxyixz、(,iyxiz)2(2,由题意得2y.ixxiixiixiz)4(51)22(51)2)(2(51222由题意得4x.∴iz24. 2)(aiziaaa)2(8)412(2,根据条件,可知0)2(804122aaa,解得62a,∴实数a的取值范围是)6,2(.4/6例3.已知复数zabi(a、bR)(i是虚数单位)...