公众号：惟微小筑"<数学周||报>杯〞2021年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题(共5小题,每题6分,总分值30分．每题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分)(1)实数xy，满足42424233yyxx，,那么444yx的值为(A)．(A)7(B)1132(C)7132(D)5解：因为20x,2y≥0,由条件得212444311384x,2114311322y,所以444yx22233yx2226yx7．(2)把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,假设两个正面朝上的编号分别为nm,,那么二次函数2yxmxn的图象与x轴有两个不同交点的概率是(C)．(A)512(B)49(C)1736(D)12解：根本领件总数有6×6＝36,即可以得到36个二次函数.由题意知＝24mn＞0,即2m＞4n.通过枚举知,满足条件的mn，有17对.故1736P.(3)有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,那么这6个点可以确定的不同直线最||少有(B)．(A)6条(B)8条(C)10条(D)12条解：如图,大圆周上有4个不同的点A,B,C,D,两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E,F中,至||少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与公众号：惟微小筑BD的交点,那么它与A,B,C,D的连线中,至||少有两条不同于A,B,C,D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如下列图放置时,恰好可以确定8条直线．所以,满足条件的6个点可以确定的直线最||少有8条．(4)AB是半径为1的圆O的一条弦,且1ABa．以AB为一边在圆O内作正△ABC,点D为圆O上不同于点A的一点,且DBABa,DC的延长线交圆O于点E,那么AE的长为(B)．(A)52a(B)1(C)32(D)a解：如图,连接OE,OA,OB．设D,那么120ECAEAC．又因为1160180222ABOABD120,所以ACE△≌ABO△,于是1AEOA．(5)将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最||后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第|一个数整除,那么满足要求的排法有(D)．(A)2种(B)3种(C)4种(D)5种解：设12345aaaaa，，，，是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列．首||先,对于1234aaaa，，，,不能有连续的两个都是偶数,否那么,这两个之后都是偶数,与条件矛盾．又如果ia(1≤i≤3)是偶数,1ia是奇数,那么2ia是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最||后一个数．所以12345aaaaa，，，，只能是：偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件：2,1,3,4,5；2,3,5,4,1；2,5,1,4,3；4,3,1,2,5；4,5,3,2,1．二、填空题(共5小题,每题6分,总分值30分)(6)对于实数u,v,定义一种运算"*〞为：uvuvv．假设关于x的方程1()4xax有两个不同的实数根,那么满足条件的实数a的取值范围公众号：惟微小筑是．【答】0a,或1a．解：由1()4xax,得21(1)(1)04axax,依题意有210(1)(1)0aaa，，解得,0a,或1a．(7)小||王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x米/分,小||王行走的速度是y米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,那么syx66．①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,那么syx33．②由①,②可得xs4,所以4xs．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．(8)如图,在△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,MF∥AD,那么FC的长为．【答】9．解：如图,设点N是AC的中点,连接MN,那么MN∥AB．又//MFAD,所以FMNBADDACMFN,所以12FNMNAB．因此1122FCFNNCABAC9．(9)△ABC中,AB＝7,BC＝8,CA＝9,过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC,分别与AB,AC相交于点D,E,那么DE的长为．【答】163．公众号：惟微小筑解：如图,设△ABC的三边长为a,b,c,内切圆I的半径为r,BC边上的高为ah,那么11()22aABCahSabcr△,所以arahabc．因为△ADE∽△ABC,所以它们对应线段成比例,因此aahrDEhBC,所以(1)(1)aaahrraDEaaahhabc()abcabc,故879168793DE（）．(10)关于x,y的方程22208()xyxy的所有正整数解为．【答】481603232.xxyy，，，解：因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数...
