1/5数学实验作业（一）素数的分布一、实验目的观察素数在实轴上的分布，考查素数在实轴上的分布规律，寻找区间上素数个数的近似表达式.二、实验原理及步骤1、用)(n代表不超过n的素数的个数，),(nm表示区间],[nm内素数的个数.试计算),100(),1000(),1000(),10000(),100000(以及)200,100(，)1100,1000(,)10100,10000(,)100100,100000(.从计算结果看，随着整数范围的扩大，素数是越来越稀疏，还是越来越密？考虑一些更长的区间，再尝试以上同样的实验.2、将素数从小到大顺序排列,3,221pp，用nnnppd1表示相邻素数之间的间隔.计算)10000,1000(,,,321NddddN，然后将点),(nndp标在坐标系中，试从中找出素数间隔的规律.比如素数的间隔值有哪些？它们各重复多少次，哪些间隔值重复的次数多，最大间隔是多少？随着N增大，最大间隔值是否也随之增大？3、根据上述实验，对素数的分布做一个猜测，比如间隔为2的素数是否有无穷多个？更一般的，间隔为某个素数是否有无穷多个？是否存在相邻的素数，其间隔值可以无穷大？证明这些猜测.4、在二维平面上标出点列))(,(nn，Nn,,2,1（取不同的N，如1000，10000等）.也可以用折线将点连接起来.观察)(n趋于无穷的趋势，并且将它与xyxy,比较.可以得出什么结论？类似的观察点列)/)(,(nnn，)/)(,(nnn及))))ln(//()(,(,(nnnnn.猜测)(n趋于无穷时候的极限.5、令nkknkknRdxxnLi21!)(ln)1(11)(,ln1)(，其中：2/5kkk31211)(.试对一系列充分大的n，计算)08366.1/(ln,ln/),(nnnnn，)(nLi及)(nR.其中哪一个公式更接近)(n？三、实验结果及分析1、通过编制程序计算可以得到，),100(),1000(),10000()100000(的值是：25，168，1229，9592.)200,100(，)1100,1000(,)10100,10000(,)100100,100000(的值分别是：21，16，11，6，从中可以看出，随着整数值的扩大，等间隔范围内的素数是越来越稀疏.2、N=1000时，),(nndp如下图所示.0100200300400500600700800900100002468101214161820N=10000时，),(nndp如下图所示.3/50100020003000400050006000700080009000100000510152025303540N=10000时，间隔最大值为36，间隔为6的数最多.从上面容易知道，素数的分布是极不规则的.它虽然沿数轴分布越来越稀疏，但有时素数之间的间隔又很小.不过，就总的趋势而言，固定区间长度内的素数个数是越来越少.3、在二维平面上点列Nnnn,,2,1)),(,(，在N=1000时，如下图所示.010020030040050060070080090010000204060801001201401601804/5在同一坐标系中作出xyxy,的图有：0100200300400500600700800900100001002003004005006007008009001000绿色线代表y=x，蓝色代表xy，红色线代表))(,(nn.可以看出点列夹在这2条线之间.同样地，作出点列)/)(,(nnn，)/)(,(nnn及))))ln(//()(,(,(nnnnn如下图所示.010020030040050060070080090010000123456黄色的线表示)/)(,(nnn，红色的线表示)/)(,(nnn，从中可以看出)(n在5/5n时的极限的阶在1/2到1之间.4、针对100000,10000,1000,100n，分别计算)08366.1/(ln,ln/),(nnnnn，)(nLi及)(nR.计算结果如下表.)(n)ln(/nn)08366.1/(lnnn)(nLi)(nR1002521.714728.396929.081026.71591000168144.7648171.7005176.5645170.09031000012291085.71230.51245.11229.510000095928685.99588.49628.89590.9从表中容易看出，计算公式)(nR更接近)(n.四、感想及进一步工作通过数学实验和计算机编程，了解到素数在实轴上的分布，即分布式极不规则的，对于固定长度的区间[M,N]，其中的素数个数越来越少.素数的个数近似表达式可由)(nR来近似求出.关于素数，还有许许多多富于挑战性的问题，比如Goldback猜想，大整数的素因子分解，完全数，孪生素数，Bertrand猜测，清一色素数等，都等着人们去挑战和解决.
