高斯小学奥数六年级上册含答案第03讲 递推计数VIP免费

第三讲递推计数.--^1©rUh―Qk撫亍方I向描，誓情就焰这么简单有许多计数问题很复杂，直接处理比较困难，此时硬碰硬是不行的．一个比较有效的策略是退而求其次：先考虑该问题的简单情形，看看简单情形如何处理；在解决了简单情形后，再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题……这个由简单到复杂的推导过程就叫“递推”．那如何利用“递推法”来解决计数问题呢？下面我们就来看几个例子．例1．老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇．如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种不同的完成方法？（小高每天只能写整数篇）「分析」从简单情况入手，看看能否找到合适的突破口．如果老师只布置1篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置2篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置3篇、4篇、……小高又分别有多少种不同的完成方法？篇数由少到多,完成方法数也会逐渐变多，这其中有什么规律呢？练习1、一个楼梯共有12级台阶,规定每步可以迈二级台阶或三级台阶．走完这12级台阶,共有多少种不同的走法？例2.用10个1x3的长方形纸片覆盖一个1°X3的方格表，共有多少种覆盖方法？「分析」与例1的类似,我们还是从简单情形入手找递推关系．可具体从什么样的情形入手呢？练习2、用7个1x2的长方形纸片覆盖一个7x2的方格表，共有多少种覆盖方法?例3.在一个平面上画出100条直线，最多可以把平面分成几个部分？「分析」当直线数量不多时，画图数一数即可．但现在有100条，画图数并不现实．我们不妨在纸上将直线逐一画出，并在画的过程中仔细观察：每增加一条直线，平面被分成的部分会增加多少？这个增．量．有什么变化规律？练习3、如果在一个圆内画出50条直线，最多可以把圆分成多少部分？下面我们来学习一类很经典的递推计数问题——传球问题．例4．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？「分析」看到这个问题，很多同学可能想通过树形图来求解，我们不妨来试一试．设穿着红、黄、绿、蓝四种颜色球衣的人分别是A、B、C、D.如下图，最开始时，球在A手上，第一次传球由A传给B、C、D,也就是第一层有三个字母就够了.然后B、C、D都会继续往下传球，各有3种传法，传到第二层需要9个字母.再传到第三层，需要27个字母……每一层需要的字母增加迅猛！如果传8次球，到最后一层会用到38=6561个字母，这要多大的一个树形图啊！BCDABDABCBCDACDABCBCDACDABD可见画树形图的方案不可行.但树形图对这道题就没有用了吗？并非如此.它可以帮助我们找出传球过程中所隐藏的递推关系.事实上，我们并不关心树形图长啥样，我们关心的是数量——树形图每一层分支的数量.因此，只要知道每一层各字母出现的次数就可以了，我们不妨制作一个表格来统计这个次数.如下表，我们用第一列来表示层数，第一行来表示每个人，其余空格用于填写字母在该层中出现的次数.请你从上方的树形图中数一数，填出表格中的前几行.然后思考一下：这其中隐藏着什么样的递推关系？练习4、三个人分别穿着红、黄、蓝三种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过7次传球后传到蓝衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？解传球问题的方法称为“传球法”．“传球法”是递推法的一种特殊形式，是一种极其实用的数表累加计数法．例5．一个七位数，每一位都是1、2或者3，而且没有连续的两个1，这样的七位数一共有多少个？「分析」这道题与前面两道题有何异同？应该如何求解呢？前面的计数问题，递推关系都表现为数列、数表的简单累加，但这不是递推的全部．简单累加只是递推的一种表现形式，递推还有很多其它形式．下面我们就来看一道无法通过简单累加求解的计数问题．例6.圆周上有10个点A.A2、、A10,以这些点为端点连接5条线段，要求线段之间没有公共点，共有多少种连接方式？「分析」圆周上10个点，连5条线段，连法很多，很难直接画出来枚举．像这类问题，我们同样还...