12.5双曲线的标准方程一、教学内容分析本小节的重点是双曲线的定义和标准方程，通过对椭圆的定义的类比联想，很容易想到研究到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹问题.要充分注意双曲线定义中“”，“绝对值”的词汇的定性描述，正确理解概念，注重思维的严密性.双曲线定义的理解以及标准方程的形式，三个量的关系都可以与椭圆进行类比学习，从而理解两种曲线的联系与区别.本小节的难点是双曲线的标准方程的推导.双曲线的标准方程的推导可以在椭圆的标准方程的推导经验中类比完成.突破难点的关键是初步研究双曲线的对称性，建立恰当的直角坐标系，注重方程化简过程中的合理变形.对于“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的证明，有条件的还是需要的，使方程的推导更完备.二、教学目标设计理解双曲线的定义理解双曲线的定义;;能推导双曲线的标准方程能推导双曲线的标准方程,,掌握焦点在掌握焦点在轴和轴和轴上的双曲线的标准轴上的双曲线的标准方程，会求给定条件下的双曲线的标准方程方程，会求给定条件下的双曲线的标准方程..通过对双曲线的标准方程的推导，巩固求动点通过对双曲线的标准方程的推导，巩固求动点的轨迹方程的一般方法的轨迹方程的一般方法..在与椭圆的类比学习中获得双曲线的知识，培养比较、分析、归纳在与椭圆的类比学习中获得双曲线的知识，培养比较、分析、归纳、、推理等能力推理等能力..三、教学重点及难点双曲线的定义和双曲线的标准方程.双曲线的标准方程的推导.四、教学流程设计问题引入概念探究课堂小结并布置作业标准方程双曲线的定义与椭圆的类比运用与深化(例题解析)五、教学过程设计一、复习回顾思考并回答下列问题1、椭圆的定义是什么？2、椭圆定义中有哪些注意点？3、椭圆的标准方程是怎样的？二、讲授新课1、概念引入问题引入：如果把椭圆定义中的和改成差:或,即:，其中动点的轨迹会发生什么变化呢？①若，则轨迹是线段的延长线；若，则轨迹是线段的延长线；②若，则无轨迹；③在条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线.[说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现与的大小关系与动点的轨迹的变化规律.此时可设计探究实验：学生用笔、细绳等工具试验画出满足条件的轨迹图形（可以让学生在上课前做一些实验的设计准备），教师利用多媒体演示（并加以说明）.通过学生的动手操作，增加学生的感性认识，提高学生学习的参与度.2、概念形成双曲线定义定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距.双曲线定义中的注意点在概念的理解中要注意：（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于.（2）当时，动点的轨迹是与对应的双曲线的一支，时为双曲线的另一支.3、双曲线的标准方程的推导可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程．如图8-12建系，设，取过点的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，则，设是所求轨迹上的点.依已知条件有，，，，移项得：，平方得：（*）再平方得：，即，令则，即反之：设是上的点，则，=，，∴当时，，，有；当时，，，有综上：焦点在轴上双曲线的标准方程是①，其中，焦点.[说明]对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成，在建立直角坐标系之前，可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性，使建系更合理.对于证明“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”这一过程可以视学生的程度来定，这样可使推导过程更完整，思维更严谨，这一过程需在教师的引导下师生共同完成.同样如果双曲线的焦点在y轴上(图8－13)，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a、b的意义同上，那么只要将方程①的x、y互换，就可以得到焦点在轴上双曲线的标准方程是，其中，焦点.[说明]双曲线的标准方程是指双曲线在标准状态下的方程，这里的标准状态有两层含义：（1）双曲线的两个焦点均在坐标轴上，（2）这两个焦点的中心必须与原点重合.从这一方面理解，双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程.思考：将方程推导过...
