2015年高三诊断考试数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题题号123456789101112答案DCDBDDBACAAB7.解析：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10,由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意11.解析：依题意，抛物线：x2=2y的焦点为,∴圆的圆心坐标为 四边形是矩形，且为直径，为直径，为圆的圆心∴点为该矩形的两条对角线的交点，∴点到直线的距离与点到的距离相等，又点到直线的距离为∴直线的方程为：∴∴圆的半径∴圆的方程为：12.解析： 为偶函数，∴的图象关于对称,∴的图象关于对称∴设（）,则又 ，∴（），∴函数在定义域上单调递减 ,而∴∴故选B．二、填空题13.14.15.16.15．解析：函数，则，令得，因为函数有两个极值点，所以有两个零点，等价于函数与的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率k=1x0，切线方程为y=1x0x−1.切点在切线上，则y0=x0x0−1=0，又切点在曲线上，则lnx0=0⇒x0=1，即切点为（1，0）.切线方程为.再由直线与曲线有两个交点，知直线位于两直线和之间，其斜率2a满足：0＜2a＜1，解得实数a的取值范围是.16．解析：由bn=an+1an，且，得．，．，．…．∴． 数列为等比数列，∴三、解答题17.解：（Ⅰ） ，∴∴ ∴…………6分（Ⅱ）由正弦定理得：，∴，∴ ∴即：…………12分18.解：()Ⅰ证明:连接,则平面,∴在等腰梯形中,连接 ,∥∴∴平面∴…………6分()Ⅱ解法一: ∥∴ ∴在底面中作,连接,则,所以为平面与平面所成角的一个平面角在中,,∴∴即平面与平面所成角(锐角)的余弦函数值为…………12分解法二:由()Ⅰ知、、两俩垂直，ABCDA1B1C1D1xyz ∥∴∴在等腰梯形中,连接因,∥，所以，建立如图空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量由得可得平面的一个法向量．又为平面的一个法向量．因此所以平面和平面所成的角(锐角)的余弦值为.19.解（Ⅰ）设印有“绿色金城行”的球有个,同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件,则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是由对立事件的概率:=即，解得…………6分（Ⅱ）由已知，两种球各三个，可能取值分别为，，(或)则的分布列为：所以．…………12分20.解：（Ⅰ）依题意有， ∴∴，∴∴曲线的方程为……………6分（Ⅱ）设直线的方程为，则，，的中点为由得∴， ，即∴（舍）或∴，点的横坐标为 ∴∴过、、三点的圆以点为圆心，为直径 点的横坐标为∴ ∴过、、三点的圆与轴相切……………12分21.解：（Ⅰ） 又函数在定义域上是单调函数.∴或在上恒成立若在上恒成立,即函数是定义域上的单调地增函数,则在上恒成立,由此可得；若在上恒成立,则在上恒成立.即在上恒成立. 在上没有最小值∴不存在实数使在上恒成立.综上所述,实数的取值范围是.……………4分（Ⅱ）当时，函数.令则显然，当时，,所以函数在上单调递减又，所以，当时，恒有,即恒成立.故当时，有……………8分（Ⅲ）证法一:由（Ⅱ）可知()∴()∴()∴………12分证法二:设则 ∴欲证e0+e−1×4+e−2×9+⋯+e(1−n)×n2
