课题立体几何中的折叠、最值、取值范围问题——综合能力提升篇立体几何章节在历来的高考中分值占比重，以两小一大的形式出现较多．空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力．要在立体几何学习中形成．纵观近几年全国及各省高考试题，对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题的考查逐年加重，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答．从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼．分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨．题型一：立体几何中的折叠问题折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现．处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系．并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化．这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据．而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试．1．如图1，在等腰梯形CDEF中，DE＝CD＝，EF＝2＋，将它沿着两条高AD，CB折叠成如图2所示的四棱锥E－ABCD(E，F重合)．(1)求证：BE⊥DE；(2)设点M为线段AB的中点，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．【解析】(1)证明： AD⊥EF，∴AD⊥AE，AD⊥AB．又 AB∩AE＝A，∴AD⊥平面ABE，∴AD⊥BE．由图1和题中所给条件知，AE＝BE＝1，AB＝CD＝，∴AE2＋BE2＝AB2，即AE⊥BE．又 AE∩AD＝A，∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥DE．(2)取EC的中点G，BE的中点P，连接PM，PG，MG．则MP∥AE，GP∥CB∥DA，∴MP∥平面DAE，GP∥平面DAE． MP∩GP＝P，∴平面MPG∥平面DAE． MG⊂平面MPG，∴MG∥平面DAE，即存在点N与G重合满足条件．2．(2015·四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC1的中点为M，GH的中点为N．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN∥平面BDH；(3)求二面角AEGM的余弦值．【解析】(1)点F，G，H的位置如图所示．2(2)证明：连接AC，BD交于点O，连接OH，OM．因为M，N分别是BC，GH的中点，所以OM∥CD，且OM＝CD，HN∥CD，且HN＝CD，所以OM∥HN，OM＝HN，所以四边形MNHO是平行四边形，从而MN∥OH．又MN⊄平面BDH，OH⊂平面BDH，所以MN∥平面BDH．(3)方法一：过M作MP⊥AC于P．在正方体ABCDEFGH中，AC∥EG，所以MP⊥EG．过P作PK⊥EG于K，连接KM，所以EG⊥平面PKM，从而KM⊥EG，所以∠PKM是二面角AEGM的平面角．设AD＝2，则CM＝1，PK＝2．在Rt△CMP中，PM＝CMsin45°＝．在Rt△PKM中，KM＝＝．所以cos∠PKM＝＝，即二面角AEGM的余弦值为．方法二：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DH方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D－xyz．设AD＝2，则M(1，2，0)，G(0，2，2)，E(2，0，2)，O(1，1，0)，所以GE＝(2，－2，0)，MG＝(－1，0，2)．[来源:学科网]设平面EGM的一个法向量为n1＝(x，y，z)，由得取x＝2，得n1＝(2，2，1)．在正方体ABCDEFGH中，DO⊥平面AEGC，则可取平面AEG的一个法向量为n2＝DO＝(1，1，0)，所以cos〈n1，n2〉＝＝＝，故二面角AEGM的余弦值为．题型二、立体几何中的最值问题结合近年来全国各省市的高考中，考查与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题常常在高考试题中出现．在解决此类问题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次顺序思考，基本可以找到解题的途径．33．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D点在棱AA1上且AD＝2DA1，P点在棱C1C上，则PD·PB1的最小值为()A．B．－C．D．－【解析】建...
