全国高中数学竞赛二试模拟训练题(14)VIP专享VIP免费

加试模拟训练题（14）1、非等腰ABC的内切圆圆心为I，其与,,BCCAAB分别相切于点111,,ABC，11,AABB分别交圆于22,AB，111ABC中111111,CABCBA的角平分线分别交1111,BCAC于点33,AB，证明（1）23AA是121BAC的角平分线；（2）如果,PQ是123AAA和123BBB的两个外接圆的交点，则点I在直线PQ上。2、对任意实数zyx,,，试证：).9(619132)9(6191222222zyxyzxzxyzyx13、设n是正整数，我们说集合{1，2，…，2n}的一个排列（nxxx221,,）具有性质P，是指在{1，2，…，2n－1}当中至少有一个i，使得.||1nxxii求证，对于任何n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.4、求方程||1rspq的整数解，其中qp,是质数，sr,是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.加试模拟训练题（14）21、非等腰ABC的内切圆圆心为I，其与,,BCCAAB分别相切于点111,,ABC，11,AABB分别交圆于22,AB，111ABC中111111,CABCBA的角平分线分别交1111,BCAC于点33,AB，证明（1）23AA是121BAC的角平分线；（2）如果,PQ是123AAA和123BBB的两个外接圆的交点，则点I在直线PQ上。证明（1）因为12ACA∽11AAC，12ABA∽11AAB，所以有122212111111CAAAAABACAACABBA，从而有131211121113CACACABABABA，即23AA是121BAC的角平分线。（2）设123AAA的外心为O，连221,,,OIIAOAOA，则12OIAA。由于132AAA1121231131121211111121902ACACAACAAACACABCABACA，所以2211321122118090902AOIAOAAAAACAAIO，于是有290IAO，即2IA与O相切于2A。同理2IB与123BBB的外接圆相切于2B，从而I在O与123BBB的外接圆的根轴上，即,,IPQ三点共线。2、对任意实数zyx,,，试证：).9(619132)9(6191222222zyxyzxzxyzyx证明：当zyx时，所证不等式显然成立.当zyx,,不全为零时，,09222zyx将所证不等式可变形为.61919326191222zyxyzxzxy3令kzyxyzxzxy222932①①式中的zyx,,均可取一切实数（zyx,,不同时为零即可）.不妨取变量z作为考查对象.（1）当0z时，22yxxyk，由||222xyyx，得,21||22yxxy即.2121k（2）当0z时，将①式整理，得,03)9()2(222yzzykxzykxk可以为0，当0k时，不等式显然成立；当0k时，因Rx，0，即0或.0由0得)39(4)2(222yzkzkykzy.0)91(4)124()41(2222kzykzzyk当21k时，不等式显然成立；当21k时，.0,Ry.0)91(4)41(4)124(2222kzkkzz即,0)]31)(31)(41()31[(16222kkkkz,0162z0)]31)(31)(41()31(22kkkk即.0)6191)(6191()31(kkkk解得：，k316191或.61910k同理，由0，得0)91(4)124()41(2222kzykzzyk，对任意实数y都满足的充要条件是：.0)91(4)41(4)124(,04122222kzkkzzk解得.031k综合以上，可得k的取值范围是：.61916191k由此可得.61919326191222zyxyzxzxy即所证不等式成立.43、设n是正整数，我们说集合{1，2，…，2n}的一个排列（nxxx221,,）具有性质P，是指在{1，2，…，2n－1}当中至少有一个i，使得.||1nxxii求证，对于任何n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.（1989，第30届IMO试题6）【证明】设A为不具有性质P的排列的集合，B为具有性质P的排列的集合，显然)!.2(||||nBA为了证明||||BA，只要得到)!2(21||nB就够了.使作容斥原理.设(nxxx221,,,)中,k与nk相邻的排列的集合为.,,2,1,nkAk则,)!12(2||nxAk,1,)!22(2||2njknxAAjk由容斥原理得)!22(4)!12(2||||||211nCnnAAABnnjkjknkk=)!22(2)!22()1(2)!2(nnnnnnn)!2(21)!22(2122nnnn4、（普特南竞赛题）求方程||1rspq的整数解，其中qp,是质数，sr,是大于1的正整数，并证明你所得到的解是...