加试模拟训练题(14)1、非等腰ABC的内切圆圆心为I,其与,,BCCAAB分别相切于点111,,ABC,11,AABB分别交圆于22,AB,111ABC中111111,CABCBA的角平分线分别交1111,BCAC于点33,AB,证明(1)23AA是121BAC的角平分线;(2)如果,PQ是123AAA和123BBB的两个外接圆的交点,则点I在直线PQ上。2、对任意实数zyx,,,试证:).9(619132)9(6191222222zyxyzxzxyzyx13、设n是正整数,我们说集合{1,2,…,2n}的一个排列(nxxx221,,)具有性质P,是指在{1,2,…,2n-1}当中至少有一个i,使得.||1nxxii求证,对于任何n,具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.4、求方程||1rspq的整数解,其中qp,是质数,sr,是大于1的正整数,并证明你所得到的解是全部解.加试模拟训练题(14)21、非等腰ABC的内切圆圆心为I,其与,,BCCAAB分别相切于点111,,ABC,11,AABB分别交圆于22,AB,111ABC中111111,CABCBA的角平分线分别交1111,BCAC于点33,AB,证明(1)23AA是121BAC的角平分线;(2)如果,PQ是123AAA和123BBB的两个外接圆的交点,则点I在直线PQ上。证明(1)因为12ACA∽11AAC,12ABA∽11AAB,所以有122212111111CAAAAABACAACABBA,从而有131211121113CACACABABABA,即23AA是121BAC的角平分线。(2)设123AAA的外心为O,连221,,,OIIAOAOA,则12OIAA。由于132AAA1121231131121211111121902ACACAACAAACACABCABACA,所以2211321122118090902AOIAOAAAAACAAIO,于是有290IAO,即2IA与O相切于2A。同理2IB与123BBB的外接圆相切于2B,从而I在O与123BBB的外接圆的根轴上,即,,IPQ三点共线。2、对任意实数zyx,,,试证:).9(619132)9(6191222222zyxyzxzxyzyx证明:当zyx时,所证不等式显然成立.当zyx,,不全为零时,,09222zyx将所证不等式可变形为.61919326191222zyxyzxzxy3令kzyxyzxzxy222932①①式中的zyx,,均可取一切实数(zyx,,不同时为零即可).不妨取变量z作为考查对象.(1)当0z时,22yxxyk,由||222xyyx,得,21||22yxxy即.2121k(2)当0z时,将①式整理,得,03)9()2(222yzzykxzykxk可以为0,当0k时,不等式显然成立;当0k时,因Rx,0,即0或.0由0得)39(4)2(222yzkzkykzy.0)91(4)124()41(2222kzykzzyk当21k时,不等式显然成立;当21k时,.0,Ry.0)91(4)41(4)124(2222kzkkzz即,0)]31)(31)(41()31[(16222kkkkz,0162z0)]31)(31)(41()31(22kkkk即.0)6191)(6191()31(kkkk解得:,k316191或.61910k同理,由0,得0)91(4)124()41(2222kzykzzyk,对任意实数y都满足的充要条件是:.0)91(4)41(4)124(,04122222kzkkzzk解得.031k综合以上,可得k的取值范围是:.61916191k由此可得.61919326191222zyxyzxzxy即所证不等式成立.43、设n是正整数,我们说集合{1,2,…,2n}的一个排列(nxxx221,,)具有性质P,是指在{1,2,…,2n-1}当中至少有一个i,使得.||1nxxii求证,对于任何n,具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.(1989,第30届IMO试题6)【证明】设A为不具有性质P的排列的集合,B为具有性质P的排列的集合,显然)!.2(||||nBA为了证明||||BA,只要得到)!2(21||nB就够了.使作容斥原理.设(nxxx221,,,)中,k与nk相邻的排列的集合为.,,2,1,nkAk则,)!12(2||nxAk,1,)!22(2||2njknxAAjk由容斥原理得)!22(4)!12(2||||||211nCnnAAABnnjkjknkk=)!22(2)!22()1(2)!2(nnnnnnn)!2(21)!22(2122nnnn4、(普特南竞赛题)求方程||1rspq的整数解,其中qp,是质数,sr,是大于1的正整数,并证明你所得到的解是...