第三部分抛物线1．[2014·安徽卷]抛物线y＝x2的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2答案：A[解析]因为抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.2．[2014·全国新课标卷Ⅰ]已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8答案：A[解析]由抛物线方程y2＝x，知p＝，又因为|AF|＝x0＋＝x0＋＝x0，所以得x0＝1.3．[2014·辽宁卷]已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－答案：C[解析]因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2，3)在准线上，故＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.4．[2014·湖南卷]平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析]依题意可知机器人运行的轨迹方程为y2＝4x.设直线l：y＝k(x＋1)，联立消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，得k2＞1，解得k＜－1或k＞1.5．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()A.B．6C．12D．7答案：C[解析]抛物线的焦点坐标为F，直线AB的斜率k＝tan30°＝，所以直线AB的方程为y＝x－.由得x2－x＋＝0，故x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝12.6．[2014·株洲模拟]已知直线y＝x－2与圆x2＋y2－4x＋3＝0及抛物线y2＝8x依次交于A，B，C，D四点，则|AB|＋|CD|等于()A．10B．12C．14D．16答案C[解析]由题可知直线y＝x－2过圆心(2，0)，抛物线的焦点为(2，0)．由得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，所以|AD|＝＝＝＝16，故|AB|＋|CD|＝|AD|－2＝14.7．(2013·山东高考)抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A.B.C.D.1【解析】作出草图，数形结合，建立方程求解． 双曲线C2：－y2＝1，∴右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.抛物线C1：y＝x2(p＞0)，焦点为F′.设M(x0，y0)，则y0＝x. kMF′＝kFF′，∴＝.①又 y′＝x，∴y′|x＝x0＝x0＝.②由①②得p＝.【答案】D8．(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．【解析】因为y＝x2，所以y′＝x，易知P(4,8)，Q(－2,2)，所以在P、Q两点处切线的斜率的值为4或－2.所以这两条切线的方程为l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0，将这两个方程联立方程组求得y＝－4.【答案】－4备选9．[2014·四川卷]已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A．2B．3C.D.答案：B[解析]由题意可知，F.设A(y，y1)，B(y，y2)，∴OA·OB＝y1y2＋yy＝2，解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2.当y≠y时，AB所在直线方程为y－y1＝(x－y)＝(x－y)，令y＝0，得x＝－y1y2＝2，即直线AB过定点C(2，0)．于是S△ABO＋S△AFO＝S△ACO＋S△BCO＋S△AFO＝×2|y1|＋×2|y2|＋×|y1|＝(9|y1|＋8|y2|)≥×2＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y＝y时，取y1＝，y2＝－，则AB所在直线的方程为x＝2，此时求得S△ABO＋S△AFO＝2××2×＋××＝.而>3，故选B.10．[2014·湖北卷]在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x<0)．依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组可得ky2－4y...
