滚动限时训练81.已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝3，a＝4a3a7，则数列{an}的通项公式为________．解析a＝4a3a7＝4a，又an＞0，所以a4＝2a5⇒q＝＝，所以a1＋2a2＝a1＋a1＝3⇒a1＝，所以an＝×n－1＝.2.A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}．若A∩B＝，则实数∅a的取值范围是________．解析：由|x－a|＜1得－1＜x－a＜1，即a－1＜x＜a＋1.如图，要使A∩B＝成立，由图可知∅a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.3.有四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2＋cos2＝；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；p3：∀x∈[0，π],＝sinx；p4：sinx＝cosy⇒x＋y＝.其中假命题的是________．解析p1：∃x∈R，sin2＋cos2＝是假命题；p2是真命题，如x＝y＝0时成立；p3是真命题，∵∀x∈[0，π]，sinx≥0，∴＝＝|sinx|＝sinx；p4是假命题，如x＝，y＝2π时，sinx＝cosy，但x＋y≠.答案p1，p44.设实数x，y满足则u＝的取值范围是________．解析不等式组对应的可行域如图，u＝1＋，过图中点(3,1)时，umin＝1＋＝，过图中点(1,2)时，umax＝1＋2＝3，故u的取值范围是.命题趋势：线性规划与其它知识的综合,将线性规划与函数、导数、不等式等知识的综合，为线性规划的考查注入了新的活力，成为又一知识交汇点，需要根据相关知识逐个突破.同时，在约束条件或者目标函数中含有参数，也是线性规划的一个热点.5.若sin＝，则sin＝________.解析∵＋＝，∴sin＝sin＝－cos＝±.6.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3…x2012的值为________．解析先求出切线方程，令y＝0，得xn，再求乘积．因为y′＝(n＋1)xn，所以在点(1,1)处的切线斜率为n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝，所以x1·x2·x3…x2012＝×××…×＝.命题趋势：导数的几何意义与其它知识的综合,导数的运算与其它知识的综合是常见考题，可以将导数的几何意义与数列、方程、不等式恒成立、基本不等式等知识综合，考查等价转化、函数与方程、分离参数等数学思想方法.7.有一个各条棱长均为a的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长是________．1解析如图，是某正四棱锥的平面展开图，等腰△ABC的底边BC即为所求正方形包装纸的边长的最小值，由余弦定理得BC＝＝a.答案a解题方法技巧：图形分析、直接计算法,1通过分析图形元素之间的数量关系，建立数学模型，求出计算面积或体积所需要的相关要素.,2利用平面展开图求空间几何体的面积是常用方法.,3等体积法是处理体积问题的常用方法.8.已知f(x)＝若|f(x)|≥ax在x∈[－1,1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析当x∈[－1,0]时，|f(x)|＝2－x2≥ax，所以a≥max＝－1；当x∈(0,1]时，|f(x)|＝|3x－2|≥ax恒成立，作出图象即可得a≤0，所以对x∈[－1,1]上恒成立时，实数a的取值范围是[－1,0]．命题趋势：分段函数与不等式,分段函数是函数的热点问题，将分段函数与解不等式、不等式恒成立等综合又是最新命题点，需要利用分段函数的解析式将问题转化为一般不等式问题，注意何时取交集、并集.9.已知数列的首项为a（a≠0），前n项和为，且有，．（1）求数列的通项公式；（2）当t=1时，若对任意，都有，求实数a的取值范围；（3）当t≠1时，若，求能够使数列为等比数列的所有数对（a，t）．【答案】（1）当时，由解得，当时，，所以，即，又因为，综上，有，所以是首项为，公比为的等比数列，所以．（2）当时，，此时为等差数列；当时，为单调递增数列，且对任意，恒成立，不合题意；2当时，为单调递减数列，由题意知得，且有，解得．综上的取值范围是．（3）因为，，所以，由题设知为等比数列，所以有，解得，即满足条件的数对是．（或通过的前3项成等比数列先求出数对，再进行证明）10.（理科生做）斜率为1的直线与抛物线交于不同两点，求线段中点的轨迹方程．解：设直线方程：，将代入,得,……2分所以……6分，,……9分线段中点的轨迹方程为：.……10分3
