解答题专题练(六)函数与导数(建议用时：60分钟)1．(2015·枣庄模拟)定义在实数集上的函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝x3－2x＋m.(1)求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[－4，4]恒成立，求实数m的取值范围．2．已知函数f(x)＝(a＞0，r＞0)．(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．3．设函数f(x)＝(a∈R)．(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．4．已知函数f(x)＝.(1)证明：0
0，a>0时，f(x)>，求实数a的取值范围．5．(2015·泰安第一次联考)已知函数f(x)＝alnx＋x2＋1.(1)当a＝－时，求f(x)在区间上的最值；(2)讨论函数f(x)的单调性．6．(2015·德州统考)设函数f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.(1)讨论函数h(x)＝的单调性；(2)如果对任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．解答题专题练(六)函数与导数1．解：(1)因为f(x)＝x2＋x，所以当x＝1时，f(1)＝2，因为f′(x)＝2x＋1，所以f′(1)＝3，所以所求切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.(2)令h(x)＝g(x)－f(x)＝x3－x2－3x＋m，则h′(x)＝(x－3)(x＋1)．所以当－4≤x<－1时，h′(x)>0；当－10.要使f(x)≥g(x)恒成立，即h(x)max≤0，由上知h(x)的最大值在x＝－1或x＝4处取得，而h(－1)＝m＋，h(4)＝m－，所以m＋≤0，即m≤－，所以实数m的取值范围为.2．解：(1)由题意知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)．f(x)＝＝，f′(x)＝＝，所以当x＜－r或x＞r时，f′(x)＜0；当－r＜x＜r时，f′(x)＞0.因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单调递增区间为(－r，r)．(2)由(1)可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减．因此，x＝r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝＝＝＝100.3．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝＝.因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.(2)由(1)知f′(x)＝，令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0解得x1＝，x2＝.当x＜x1时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数；当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，故f(x)为增函数；当x＞x2时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数．由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－.故a的取值范围为.4．解：(1)证明：设g(x)＝xex＋1，则g′(x)＝(x＋1)ex.当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以g(x)≥g(－1)＝1－e－1>0.又ex>0，故f(x)>0.又f′(x)＝.当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以f(x)≤f(0)＝1.综上，有00，所以f(x)>等价于(ax2－x＋1)ex－1>0.(*)设h(x)＝(ax2－x＋1)ex－1，则h′(x)＝x(ax＋2a－1)ex.若a≥，则当x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，h(x)>h(0)＝0.若00时，不等式(*)成立当且仅当a≥.综上，a的取值范围是.5．解：(1)当a＝－时，f(x)＝－lnx＋＋1，所以f′(x)＝＋＝，因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以由f′(x)＝0得x＝1.所以f(x)在区间上的最值只可能在f(1)，f，f(e)中取到，而f(1)＝，f＝＋，f(e)＝＋，所以f(x)max＝f(e)＝＋，f(x)min＝f(1)＝.(2)f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．①当a＋1≤0，即a≤－1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②当a≥0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；③当－1＜a＜0时，由f′(x)＞0得x2＞，所以x＞或x＜－(舍去)，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当－1＜a＜0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．6．解：(1)因为h(x)＝＋l...
