高考压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2016·北京)已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．(1)解由椭圆过点A(2,0)，B(0,1)知a＝2，b＝1.所以椭圆方程为＋y2＝1，又c＝＝.所以椭圆离心率e＝＝.(2)证明设P点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4，又A(2,0)，B(0,1)，所以直线PB的方程为y－1＝(x－0)，令y＝0，得xN＝，从而|AN|＝2－xN＝2＋.直线PA的方程为y－0＝(x－2)，令x＝0，得yM＝，从而|BM|＝1－yM＝1＋.所以S四边形ABNM＝|AN|·|BM|＝＝＝＝2.即四边形ABNM的面积为定值．2．(2016·天津)设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．解(1)设F(c,0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2.又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.解得x＝2或x＝.由题意得xB＝，从而yB＝.由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有FH＝(－1，yH)，BF＝.由BF⊥HF，得BF·FH＝0，所以＋＝0，解得yH＝.因此直线MH的方程为y＝－x＋.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM＝.在△MAO中，∠MOA＝∠MAO⇔|MA|＝|MO|，即(xM－2)2＋y＝x＋y，化简得xM＝1，即＝1，解得k＝－或k＝.所以直线l的斜率为－或.3．(2016·课标全国甲)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．解设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.(1)当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2,0)．由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0，解得y＝0或y＝，所以y1＝.因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.(2)由题意t>3，k>0，A(－，0)，将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1，得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.由x1·(－)＝，得x1＝，故|AM|＝|x1＋|＝.由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，故同理可得|AN|＝.由2|AM|＝|AN|得＝，即(k3－2)t＝3k(2k－1)，当k＝时上式不成立，因此t＝.t>3等价于＝<0，即<0.由此得或解得b>0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点M在定直线上；②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．(1)解由题意知＝，可得a2＝4b2，因为抛物线E的焦点F，所以b＝，a＝1，所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.(2)①证明设P(m>0)，由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为y－＝m(x－m)，即y＝mx－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．联立方程得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.由Δ>0，得0
