课时规范练25平面向量基本定理及向量的坐标表示基础巩固组1.(2019云南昆明期末)已知向量a=(3,4),b=(1,2),则2b-a=()A.(-1,0)B.(1,0)C.(2,2)D.(5,6)2.(2019北京师大附中期中)已知平面向量a=(-1,2),b=(1,0),则向量3a+b等于()A.(-2,6)B.(-2,-6)C.(2,6)D.(2,-6)3.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)4.(2019山东德州一模,5)如图,在△ABC中,AD=23AB,BE=12BC,则⃗DE=()A.13⃗AC−12⃗ABB.13⃗AC−16⃗ABC.12⃗AC−13⃗ABD.12⃗AC−16⃗AB5.已知向量⃗AC,⃗AD和⃗AB在正方形网格中的位置如图所示,若⃗AC=λ⃗AB+μ⃗AD,则λμ=()A.-3B.3C.-4D.46.(2019云南昆明期末)已知向量a=(1,x),b=(-2,4),a∥(a-b),则x=()A.1B.2C.-1D.-27.(2019四川广元万达中学期中)已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,0),则|a+2b|=()A.3❑√2B.3C.2❑√2D.58.在△OAB中,⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OP=p,若p=t(a|a|+b|b|),t∈R,则点P在()A.∠AOB平分线所在直线上B.线段AB中垂线上C.AB边所在直线上D.AB边的中线上9.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC=π4,且|OC|=2,若⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB,则λ+μ=()A.2❑√2B.❑√2C.2D.4❑√210.已知向量a=(-2,1),b=(λ,-1)(x∈R),则|a|=;若a∥b,则λ=.11.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.综合提升组12.已知直线2x+3y=1与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,与直线x+y=0交于点C,若⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB(O为坐标原点),则λ,μ的值分别为()A.λ=2,μ=-1B.λ=4,μ=-3C.λ=-2,μ=3D.λ=-1,μ=213.(2019山东青岛一二中质检)已知梯形ABCD中,AB∥DC,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为.14.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为.创新应用组15.(2019河南八市联考二,11)已知对任意平面向量⃗AB=(x,y),把⃗AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量⃗AP=(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P.若平面内点A(❑√3,0),点B(0,1),把点B绕点A顺时针方向旋转4π3后得到点P,则点P的坐标为()A.(❑√3,-2)B.(0,-2)C.(❑√3,1)D.(2❑√3,0)16.已知△OAB是边长为1的正三角形,若点P满足⃗OP=(2-t)⃗OA+t⃗OB(t∈R),则|⃗AP|的最小值为()A.❑√3B.1C.❑√32D.❑√34参考答案课时规范练25平面向量基本定理及向量的坐标表示1.A由题得2b=(2,4),则2b-a=(-1,0),故选A.2.A因为a=(-1,2),所以3a=(-3,6).又因为b=(1,0),所以3a+b=(-3+1,6+0)=(-2,6),故选A.3.D由题意,得向量a,b不共线,则2m≠3m-2,解得m≠2.故选D.4.D⃗DE=⃗DB+⃗BE=13⃗AB+12⃗BC=13⃗AB+12¿)=12⃗AC−16⃗AB,故选D.5.A设小正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则⃗AC=(2,-2),⃗AB=(1,2),⃗AD=(1,0).由题意,得(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0),即{2=λ+μ,-2=2λ,解得{λ=-1,μ=3,所以λμ=-3.故选A.6.Da-b=(3,x-4),因为a∥(a-b),所以3x=x-4,所以x=-2,故选D.7.A因为a=(1,-3),b=(-2,0),所以a+2b=(-3,-3),因此|a+2b|=❑√9+9=3❑√2.故选A.8.A∵a|a|和b|b|是△OAB中边OA,OB上的单位向量,∴(a|a|+b|b|)在∠AOB平分线所在直线上,∴t(a|a|+b|b|)在∠AOB平分线所在直线上,∴点P在∠AOB平分线所在直线上,故选A.9.A因为|OC|=2,∠AOC=π4,所以C(❑√2,❑√2),又⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB,所以(❑√2,❑√2)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=❑√2,λ+μ=2❑√2.10.❑√52∵a=(-2,1),∴|a|=❑√(-2)2+12=❑√5.由a=(-2,1),b=(λ,-1)(λ∈R),且a∥b,得-2×(-1)-λ=0,即λ=2.11.(-1,1)或(-3,1)由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),故a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).12.C在直线2x+3y=1中,令x=0得y=13,即B(0,13),令y=0,得x=12,即A(12,0),联立{2x+3y=1,x+y=0,解得{x=-1,y=1,所以C(-1,1).因为⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB,所以(-1,1)=λ(12,0)+μ(0,13),{-1=12λ,1=13μ,所以{λ=-2,μ=3,选C.13.(2,4)∵在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥DC,∴⃗DC=2⃗AB.设点D的坐标为(x,y),则⃗DC=(4-x,2-y),⃗AB=(1,-1),∴(4-x,2-y)=2(1,-1),∴{4-x=2,2-y=-2,解得{x=2,y=4,故点D的坐标为(2,4).14.(0,2)∵向量a在基底p,q下的坐标为(-2,2),∴a=-2p+2q=(2,4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),∴{-x+y=2,x+2y=4,解得{x=0,y=2,故向量a在基底m,n下的坐标为(0,2).15.A⃗AB=(-❑√3,1),顺时针旋转4π3时,θ=-4π3,代入得x'=-❑√3·cos(-4π3)-1×sin(-4π3)=❑√3,y'=-❑√3sin(-4π3)+cos(-4π3)=-2,故选A.16.C以O为原点,以OB为x轴,建立坐标系,∵△OAB是边长为1的正三角形,∴A(12,❑√32),B(1,0),⃗OP=(2-t)⃗OA+t⃗OB=1+12t,❑√3−❑√32t,⃗AP=⃗OP−⃗OA=12t+12,❑√32−❑√32t.∴|⃗AP|=❑√(12t+12)2+(❑√32-❑√32t)2=❑√t2-t+1=❑√(t-12)2+34≥❑√32,故选C.
