课时限时检测(三十三)数列的综合应用(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难数列与函数5,8数列与不等式2,3119等差与等比数列1,104数列实际应用76,12一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝()A．2B．4C．8D．16【解析】 数列{an}是等差数列，∴a3＋a11＝2a7，由2a3－a＋2a11＝0得4a7－a＝0，又an≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝b＝42＝16.【答案】D2．(2014·大庆模拟)已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是()A．a1＋a3≥2a2B．a＋a≥2aC．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3>a1，则a4>a2【解析】设{an}的公比为q(q≠0)，则a2＝a1q，a3＝a1q2，∴a＋a＝a(1＋q4)≥a·2q2＝2a.【答案】B3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1，n∈N*)，第k项满足750＜ak＜900，则k等于()A．8B．7C．6D．5【解析】由an＋1＝3Sn及an＝3Sn－1(n≥2)，得an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an(n≥2)，又a2＝3S1＝3，∴an＝又750＜ak＜900，验证k＝6.【答案】C4．(2014·天水模拟)在如图5－5－1所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为()2412xyz1图5－5－1A．1B．2C．3D．4【解析】由题知表格中第三列中的数成首项为4，公比为的等比数列，故有x＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，，故第四列的公比为.∴y＝5×3＝，同理z＝6×4＝.因此x＋y＋z＝2.【答案】B5．(2014·潍坊模拟)在数列{an}中，an＋1＝an＋a(n∈N*，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA，OB，OC满足OC＝OA＋OB，三点A，B，C共线且该直线不过O点，则S2013的值为()A．1005B．2014C．2013D．2012【解析】根据三点A，B，C共线，有＋＝1，即a1＋a2013＝2.由等差数列的前n项和公式有S2013＝(a1＋a2013)＝2013.【答案】C6．(2014·洛阳模拟)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A．①和⑳B．⑨和○C．⑨和⑪D.○和⑪【解析】设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)则各个树坑到第i个树坑距离的和是S＝10(i－1)＋10(i－2)＋…＋10(i－i)＋10[(i＋1)－i]＋…＋10(20－i)＝10[＋]＝10(i2－21i＋210)．∴当i＝10或11时，S有最小值．【答案】D二、填空题(每小题5分，共15分)7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．【解析】设自上第一节竹子容量为a1，则第9节容量为a9，且数列{an}为等差数列．则解之得a1＝，d＝，故a5＝a1＋4d＝.【答案】8．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．【解析】 an＋1－an＝2n，∴an－an－1＝2(n－1)(n≥2)．∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－2)＋(2n－4)＋…＋2＋33＝n2－n＋33，2∴＝n＋－1，令f(x)＝x＋－1(x＞0)， f(x)在区间(0，)上递减，在区间(，＋∞)上递增，又5＜＜6，且f(5)＝5＋－1＝，f(6)＝6＋－1＝，∴f(5)＞f(6)，∴的最小值为.【答案】9．(2013·江苏高考)在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3，则满足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an的最大正整数n的值为________．【解析】设{an}的公比为q(q＞0)，则由已知可得解得于是a1＋a2＋…＋an＝＝(2n－1)，a1a2…an＝aq＝n2.由a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an可得(2n－1)＞n2，整理得2n－1＞2n2－n＋5.由2n＞2n2－n＋5可得n＞n2－n＋5，即n2－13n＋10＜0，解得＜n＜，取n＝12，可以验证当n＝12时满足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an，n≥13时不满足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an，故n的最大值为12.【答案】12三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2014·威海模拟)已知{an}为等差数列，且a3＝5，a7＝2a4－1.(1)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；(2)若数列{bn}满足b1＋4b2＋9b3＋…＋n2bn＝an求数列{...
