集合、逻辑、函数、导数及其应用例题解析一.本周教学内容：集合、逻辑、函数、导数及其应用【专题重点】1.集合、子集、交集、并集、补集；2.逻辑连接词、四种命题、充要条件；3.函数、映射、函数的三要素、函数的单调性、奇偶性、周期性、反函数、互为反函数的关系、指数概念的扩充、有理指数幂运算性质、指数函数、对数和对数的运算性质、对数函数、二次函数、函数图象；4.导数的概念、导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值和最小值、定积分及其应用．【专题连接】以集合和简易逻辑为载体，密切联系函数、方程、不等式等专题，用来解决交集、并集、补集的运算以及求解一元二次不等式；函数与方程、不等式、数列、三角、导数等结合，考查函数的概念及其性质、函数图象及其变化，以基本函数为载体出现的综合题和应用题；导数往往与函数、不等式、解析几何等结合，判断或论证函数的单调性、函数的极值和最值、在应用题中求最值、用定积分求曲边梯形的面积．【思想方法】数形结合、等价转化、函数与方程、分类讨论、极限思想【典型例题】例1.（2006年安徽卷）设集合，，则等于（）A．B．C．D．解析：，，所以，故选B．例2.（2006年湖北卷）有限集合中元素个数记作card，设、都为有限集合，给出下列命题：①的充要条件是card=card+card；②的必要条件是cardcard；③的充分条件是cardcard；④的充要条件是cardcard．其中真命题的序号是（）A.③、④B.①、②C.①、④D.②、③解析：选B．由card=card+card+card知card=card+cardcard=0．由的定义知cardcard．例3.（2006年山东卷）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z=xy（x+y），z∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为A.0B.6C.12D.18答案：D例4.已知集合，集合满足求实数的值．解析：例5.某工厂计划建造一座底面为矩形ABCD且面积为200平方米的三级污水处理池（如图所示）．由于受地形限制，矩形的长与宽都不能超过16米．已知池的外墙建造单价为每米400元，用心爱心专心115号编辑1中间两隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元．（1）试求总造价（元）与矩形长（米）之间的函数关系式；（2）求的最小值及其相应的值．解析：（1）；（2）当x=1时，最小值为45000．例6.已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件:f（x－1）=f（3－x）且方程f（x）=2x有等根新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在实数m，n（m≤n），使f（x）定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆解析：（1） 方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=（b－2）2=0，得b=2新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆由f（x－1）=f（3－x）知此函数图象的对称轴方程为x=－=1得a=－1，故f（x）=－x2+2x新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）f（x）=－（x－1）2+1≤1，∴4n≤1，即n≤而抛物线y=－x2+2x的对称轴为x=1∴n≤时，f（x）在［m，n］上为增函数新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆若满足题设条件的m，n存在，则又m＜n≤，∴m=－2，n=0，这时定义域为［－2，0］，值域为［－8，0］新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆由以上知满足条件的m、n存在，m=－2，n=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://...
