双基限时练(十六)1．给出下列四个结论①AB－AC＝BC；②0(a)＝0；③0(0)＝0；④若两个非零向量a，b满足a＝kb(k≠0)，则a，b方向相同．其中正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．3解析①AB－AC＝CB，∴①错．②0(a)＝0，∴②错．③0(0)＝0正确．④a与b共线，方向可能相同，也可能相反，∴④错．因此正确的只有③，应选B.答案B2．下列叙述不正确的是()A．若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.B.b＝3a(a为非零向量)，则a，b共线C．若m＝3a＋4b，n＝a＋2b，则m∥nD．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c解析判断a与b共线的方法是：存在实数λ，使a＝λb.在A中，若b＝0时不成立．B正确．在C中，m＝2n，∴m∥n，∴C正确．D也正确，所以应选A.答案A3．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解析∵BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，且有一个公共点B，∴A，B，D三点共线．答案A4．若AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且AD＝a，BE＝b，则BC为()A.a＋bB.a＋bC.a－bD．－a＋b解析如右图所示，设AD与BE相交于O，则AO＝AD，OD＝AD，BO＝BE，OE＝BE.∴BC＝2BD＝2(BO＋OD)＝2＝b＋a，应选B.答案B5．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB.如果OA＝3e1，OB＝3e2，那么OD等于()1A．e1＋2e2B.2e1＋e2C.e1＋e2D.e1＋e2解析如图所示，OD＝OA＋AD＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝OA＋OB＝e1＋2e2，应选A.答案A6．已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB＝λPA＋PB，λ∈R，则点P一定在()A．△ABC的内部B．AC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．BC边所在的直线上解析易得CB－PB＝λPA，即CP＝λPA，从而CP∥PA.又CP，PA有一个公共点P，所以C，P，A三点共线．又λ∈R，所以点P在直线AC上．答案B7．已知|a|＝4，b与a的方向相反，且|b|＝2，a＝mb，则实数m＝________.答案－28．若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________.解析(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，a－2c＋15c－12b＝0，∴13c＝12b－a，∴c＝b－a.答案b－a9．有下面四个命题：①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；③对于实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b；④对于实数m，n和非零向量a，若ma＝na，则m＝n.其中真命题有________．解析由实数与向量积的运算知，①、②、④正确．答案①②④10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于__________．解析由AD＝2DB，得CD－CA＝2(CB－CD)⇒CD＝CA＋CB，2所以λ＝.答案11．计算：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；(2)；(3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．解(1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.(2)原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]＝(－3a＋6b)＝2b－a.(3)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b＝－2(m＋n)b.12．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若AB＝a，AD＝b，试用a，b表示向量AC.解因为AB∥CD，且AB＝3CD，所以AB＝3DC，DC＝AB＝a，所以AC＝AD＋DC＝b＋a.13．已知：AD＝3AB，AE＝3AC，且B，C，D，E不共线．求证：BC∥DE.证明∵AD＝3AB，AE＝3AC，∴DE＝AE－AD＝3AC－3AB＝3(AC－AB)＝3BC.∴BC与DE共线．又∵B，C，D，E不共线．∴BC∥DE.3
