核按钮（新课标）高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.6 几何概型习题 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

§10.6几何概型1．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________．利用计算器，Excel，Scilab等都可以产生随机数．2．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________(____________或____________)成比例，则称这样的概率模型为________________，简称____________．3．概率计算公式在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝______________．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d和整个区域D的几何度量，然后代入公式即可求解．自查自纠1．均等的2．长度面积体积几何概率模型几何概型3.()利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1<0”发生的概率为()A.B.C.D.解：3a－1<0，即a<，∴所求概率P＝＝.故选A.()如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.B.C.D.解：B(1，0)，易得C(1，2)，则D(－2，2)，A(－2，0)，又f(x)的图象与y轴交点为(0，1)，∴阴影部分的面积为×3×1＝.故所求概率为＝.故选B.()在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则()A．p12，由几何概型得＝，解得m＝3.故填3.()如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解：依题意知点D的坐标为(1，4)，矩形ABCD的面积S＝1×4＝4，阴影部分的面积S阴影＝4－x2dx＝4－x3|＝4－＝，根据几何概型的概率计算公式得所求的概率P＝＝.故填.类型一以长度为度量的几何概型在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于该直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．解：记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”．如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于，由几何概型公式得：P(A)＝＝.故填.【点拨】①以线段长度为度量的几何概型概率计算公式：P(A)＝.※②本题实际是著名的贝特朗悖论的解答之一，该“悖论”是说：在一半径为1的圆C内任意作一弦，此弦长度大于该圆内接正三角形边长()的概率是多少？由于题中“任意作一弦”的提法不明确与之对应的随机试验及基本事件也不同，从而产生不同的概率问题．除了本例给出的解答外，还有两种常见解答，而这三种解答结果各不相同，从而形成所谓的“悖论”．另外两种如下：(Ⅰ)以为半径作圆C的同心圆C1(图1)，易证弦的中点M落在圆C1内的充要条件为弦长l>，故所求概率等于二圆面积之比；(Ⅱ)设弦AB的一端固定于圆上，于是弦的另一端B是“任意”的，考虑正三角形ADE(图2)，弦长l>的充要条件为B落在劣弧DE上，故所求概率为劣弧DE的弧长与圆周长之比.有兴趣的同学可以翻阅相关资料，并不妨探究一下：这三种解答采用的都是何种等可能性的假定？()已知函数f(x)＝，导函数为f′(x)．在区间[2，3]上任取一点x0，则使得f′(x0)>0的概率为____________．解：由已知得f′(x)＝，故f′(x)>0⇔>0，解得0