1.3中国古代数学中的算法案例课时过关·能力提升1下列方法中能求两个正整数的最大公约数的是()A.割圆术B.更相减损之术C.秦九韶算法D.以上均可答案B2用更相减损之术求得95与19的最大公约数为()A.5B.12C.19D.2解析(95,19)→(76,19)→(57,19)→(38,19)→(19,19),故95与19的最大公约数为19.答案C3284和1024的最小公倍数是()A.1024B.142C.72704D.568解析由于1024÷284=3(余172),284÷172=1(余112),172÷112=1(余60),112÷60=1(余52),60÷52=1(余8),52÷8=6(余4),8÷4=2(余0),则1024与284的最大公约数是4,故它们的最小公倍数704.答案C4用秦九韶算法求多项式f(x)=6x5+x4+4x3+5x2+3x+2在x=-3时的值的过程中,所做的加法次数为a,乘法次数为b,则a,b的值为()A.a=4,b=4B.a=5,b=5C.a=5,b=4D.a=6,b=5解析由于f(x)=6x5+x4+4x3+5x2+3x+2=((((6x+1)x+4)x+5)x+3)x+2.因此,需做5次乘法,5次加法.答案B5用秦九韶算法求多项式f(x)=2+0.35x+1.8x2-3.66x3+6x4-5.2x5+x6在x=-1.3时,令v0=a6;v1=v0x+a5;…;v6=v5x+a0时,v3的值为()A.-9.8205B.14.25C.-22.445D.30.9785解析由于f(x)=2+0.35x+1.8x2-3.66x3+6x4-5.2x5+x6=(((((x-5.2)x+6)x-3.66)x+1.8)x+0.35)x+2,于是v0=a6=1,v1=1×(-1.3)-5.2=-6.5,v2=-6.5×(-1.3)+6=14.45,v3=14.45×(-1.3)-3.66=-22.445.答案C6用程序框图表示“割圆术”,将用到()A.顺序结构B.条件分支结构C.顺序结构和循环结构D.三种基本逻辑结构解析三种算法逻辑结构都将用到.答案D7用更相减损之术求36和135的最大公约数,第一步应为.解析第一步为较大的数减去较小的数.答案135-36=998秦九韶算法中有n个一次式,若令v0=an,我们可以得答案an-k循环9已知一个5次多项式f(x)=x5+0.5x4-4x2+5x-9,用秦九韶算法求当x=x0时多项式的值,可把多项式写成:.解析本题中,x3项不存在,可把该项看作0·x3.答案f(x)=((((x+0.5)x)x-4)x+5)x-910求三个数168,54,264的最大公约数.解采用更相减损之术先求168与54的最大公约数.(168,54)→(114,54)→(60,54)→(6,54)→(6,48)→(6,42)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6),故168和54的最大公约数为6.采用辗转相除法求6与264的最大公约数.因为264=44×6+0,所以6为264与6的最大公约数,故三个数的最大公约数是6.11用秦九韶算法求当x=2时,f(x)解根据秦九韶算法,把多项式改写为如下形式:f(x)x=2时的值.v0故当x=2时,f(x)=-11.★12有甲、乙、丙三种溶液,分别为4200mL,3220mL和2520mL,现要将它们分别全部装入小瓶中,每个小瓶子装入液体的体积相同.问:要使三种溶液都刚好装满小瓶且所用瓶子最少,则小瓶的容积应为多少毫升?解由题意可知,就是求这三种溶液体积的最大公约数.先求4200与3220的最大公约数;∵4200=3220×1+980,3220=980×3+280,980=280×3+140,280=140×2,∴4200与3220的最大公约数为140.再求140与2520的最大公约数;∵2520=140×18,∴140与2520的最大公约数为140.综上知,4200,3220和2520的最大公约数为140.∴小瓶的容积应为140mL.
