新高考数学艺考生总复习 第七章 平面解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系冲关训练-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第4节直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2019·上饶市一模)已知直线x＋ay＋2＝0与圆x2＋y2＋2x－2y＋1＝0有公共点，则实数a的取值范围是()A．a＞0B．a≥0C．a≤0D．a＜0解析：C[圆x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心(－1,1)，半径为1，∵直线x＋ay＋2＝0与圆x2＋y2＋2x－2y＋1＝0有公共点，∴≤1，∴a≤0，故选C.]2．(2019·兰州市模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围为()A．[－2,6]B．[－3,5]C．[2,6]D．[3,5]解析：C[由题意，|CM|≤×，∴(5－1)2＋(t－4)2≤20，∴2≤t≤6，故选C.]3．(2019·开封市模拟)直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点且|AB|＝2，则a＝()A．1BC．2D．3解析：A[圆的圆心为(1,2)，半径为2，∵|AB|＝2，∴圆心到直线AB的距离d＝＝，即＝，解得a＝1.故选：A.]4．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[，3]D．[2，3]解析：A[∵直线x＋y＋2＝0分别于x轴，y轴交于A，B两点，∴A(－2,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝2，∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，∴圆心为(2,0)，设圆心到直线的距离为d，则d＝＝2.故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d′的范围是[，3]，则S△ABP＝|AB|d′＝d′∈[2,6]．]5．(2019·福州市模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A．y＝－B．y＝－C．y＝－D．y＝－解析：B[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.故选B.]6．(2019·信阳市质检)直线ax＋by＋c＝0与圆C：x2－2x＋y2＋4y＝0相交于A，B两点，且|AB|＝，则CA·CB＝________.解析：圆C：x2－2x＋y2＋4y＝0⇔(x－1)2＋(y＋2)2＝5，如图，过C作CD⊥AB于D，|AB|＝2|AD|＝2|AC|·sin∠CAD，∴＝2××sin∠CAD，∴∠CAD＝30°，∴∠ACB＝120°，则CA·CB＝××cos120°＝－.答案：－7．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d＝＝3.所以，|PQ|的最小值是3－5.答案：3－58．已知圆O：x2＋y2＝8，点A(2,0)，动点M在圆上，则∠OMA的最大值为________．解析：设|MA|＝a，因为|OM|＝2，|OA|＝2，由余弦定理知cos∠OMA＝＝＝·≥·2＝，当且仅当a＝2时等号成立．所以∠OMA≤，即∠OMA的最大值为.答案：9．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点M的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．解：(1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r＝2，当过点M的直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．当过点M的直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知＝2，解得k＝.∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.故过点M的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，∴2＋2＝4，解得a＝－.10．过平面内M点的光线经x轴反射后与圆C：x2＋(y－2)2＝2相切于A，B两点．(1)若M点的坐标为(5,1)，求反射光线所在直线的方程；(2)若|AB|＝，求动点M的轨迹方程．解：(1)由光的反射原理知，反射光线所在直线必过点(5，－1)，设反射光线所在直线的斜率为k，则此直线方程可以设为y＋1＝k(x－5)，即kx－y－5k－1＝0(*)．又反射光线与圆C：x2＋(y－2)2＝2相切，所以＝，解得k＝－1或－，代入(*)化简整理，得反射光线所在直线的方程为x＋y－4＝0或7x＋23y－12＝0.(2)设动点M的坐标为(x，y)(y≥0)，则反射光线所在直线必过点M关于x轴的对称点Q(x，－y)，设动弦AB的中点为P，则|AP|＝，故|CP|＝＝.由射影定理|CP|·|CQ|＝|AC|2，得|CQ|＝＝8，即＝8，即x2＋(y＋2)2＝128(y≥0)．