考点规范练44直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础巩固1.已知圆:(x-1)2+y2=2,则过该圆上的点(2,1)作圆的切线方程为()A.x+y-3=0B.2x+y-5=0C.x=2D.x-y-1=0答案A解析由题意可得圆心坐标为(1,0),根据斜率公式可得圆心(1,0)与(2,1)连线的斜率为1-02-1=1,故过该圆上的点(2,1)的切线斜率为-1,∴过该圆上的点(2,1)的切线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.2.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2❑√2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离答案B解析圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=|0+a|❑√12+12=❑√22a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2❑√R2-d2=2❑√a2-(❑√22a)2=❑√2a,由题意可得❑√2a=2❑√2,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=❑√(1-0)2+(1-2)2=❑√2,显然R-r<|MN|0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=.答案2解析如图,由题意知,圆心O到直线3x-4y+5=0的距离|OC|=5❑√32+(-4)2=1,故圆的半径r=1cos60°=2.8.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=❑√17,求直线l的倾斜角.(1)证明将已知直线l化为y-1=m(x-1);故直线l恒过定点P(1,1).因为❑√12+(1-1)2=1<❑√5,所以点P(1,1)在已知圆C内,从而直线l与圆C总有两个不同的交点.(2)解圆的半径r=❑√5,圆心C到直线l的距离为d=❑√r2-(|AB|2)2=❑√32.由点到直线的距离公式得|-m|❑√m2+(-1)2=❑√32,解得m=±❑√3,故直线的斜率为±❑√3,从而直线l的倾斜角为π3或2π3.9.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解(1)因为圆C1:x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=mx,M(x0,y0).由{x2+y2-6x+5=0,y=mx,得(1+m2)x2-6x+5=0,则Δ=36-20(1+m2)>0,解得-2❑√55
