高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数例题与探究（含解析）北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

1.5正弦函数典题精讲1.周期函数一定都有最小正周期吗？剖析：并不是所有周期函数都存在最小正周期.很多同学对此产生质疑，其突破的方法是：通过经验的积累，考虑特殊的周期函数.例如：常数函数f(x)=C（C为常数），x∈R.当x取定义域内的任意值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(x+T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期.2.正弦函数线有何作用？剖析：有的同学学习了正弦线后，感到正弦线没有什么用处.其突破的路径是准确理解正弦线的定义和平时经验的积累.正弦线是当点P为终边与单位圆交点时，正弦函数值的直观表现形式.正弦线的方向和长度直观反映了正弦值的符号和绝对值.由正弦线的方向判断正弦值的正负，由正弦线的长度确定正弦值的绝对值大小.由此可见，用正弦线表示正弦函数值，反映了变换与转化、数形的结合与分离的思想方法.正弦函数在各象限的符号除从各象限点的坐标的符号结合正弦函数的定义来记忆之外，也可以根据画出的正弦线的方向记忆.正弦线的主要作用是解三角不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较三角函数式的大小，同时它也是以后学习正弦函数的图像与性质的基础.例如：求函数y=log2(sinx)的定义域.思路分析：转化为解三角不等式sinx＞0.图1-4-5解：要使函数有意义，x的取值需满足sinx＞0.如图1-4-5所示，是角x的正弦线，则有sinx=＞0,∴的方向向上.∴角x的终边在x轴的上方.∴2kπ＜x＜2kπ+π(k∈Z).∴函数y=log2(sinx)的定义域是(2kπ,2kπ+π)k∈Z.由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问题得以简化.三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具，通过平时经验的积累，掌握三角函数线的应用.3.在推广了的三角函数定义中，为什么三角函数值与点P在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小？剖析：联系相似三角形的知识来分析.设P0（x0,y0)是角α终边上的另一点，|OP0|=r0，由相似三角形的知识可知，只要点P0在α终边上，总有=.因此所得的比值都对应相等.所以角α的正弦函数值只依赖于终边的位置即α的大小，与点P在角α终边上的位置无关.典题精讲例1（经典回放）sin600°的值是（）A.B.-C.D.-思路解析：sin600°＝sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-.答案：D绿色通道：诱导公式选择的一般步骤：先将-α化为正角；再用2kπ+α(k∈Z)化为［0，2π)内的角;再用π+α，π-α，2π-α化为锐角的三角函数.由此看利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，也就是说：诱导公式真是好，负化正后大化小.变式训练sin(-2010°)的值是（）A.-B.C.D.-思路解析：sin(-2010°）=sin［(-6×360°）+150°］＝sin150°=sin(180°-30°）=sin30°=.答案：C例2(2005福建高考卷，理12)f(Z)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A.2B.3C.4D.5思路解析： f(x)是奇函数，∴f(0)=-f(-0)，f(-2)=-f(2)=0.∴f(0)=0，f(2)=0. f(x)是以3为周期的周期函数，∴f(-2)=f(3-2)=f(1)=0,f(3)=f(0)=0,f(4)=f(1+3)=f(1)=0.∴f(5)=f(3+2)=f(2)=0.∴在区间（0，6）内f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0.答案：D绿色通道：高考试题中，通常不会单独考查周期函数，往往是周期函数和三角函数，和函数的奇偶性、单调性等综合考查.一般是利用周期函数的性质f(x+T)=f(x)，解决求函数值、解析式及解方程等问题.变式训练定义在R上的偶函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x),若当x∈(0,3)时,f(x)=2x,则当x∈(-6,-3)时,f(x)的解析式为（）A.2x+6B.-2x+6C.2x-6D.-2x-6思路解析： f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x).又 f(3+x)=f(3-x)，∴f(x)的图像关于直线x=3对称.∴f(x+6)=f(x+3+3)=f［3-(x+3)］=f(-x)=f(x).∴f(x)是周期函数，6是一个周期.当x∈(-6,-3)时,有0＜x+6＜3，∴f(x)＝f(x＋6)＝2x+6.答案：A例3已知角α的终边经过点P（3，4），求sinα.思路分析：分别写出x、y、r的值，应用定义求解.解：由x=3，y=4，得r==5.∴sinα==.绿色通道：如果已知角的终边经过的一个点求三角函数值，通常应用三角函数的定义...