【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章坐标系学业分层测评2极坐标系新人教A版选修4-4(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列各点中与不表示极坐标系中同一个点的是()A.B.C.D.【解析】与极坐标相同的点可以表示为(k∈Z)，只有不适合．【答案】C2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为()A．(π，0)B．(π，2π)C．(－π，0)D．(－2π，0)【解析】x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)．【答案】A3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是()A．关于极轴所在直线对称B．关于极点对称C．关于过极点垂直于极轴的直线对称D．两点重合【解析】因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．【答案】A4．在极坐标系中，已知点P1、P2，则|P1P2|等于()A．9B．10C．14D．2【解析】∠P1OP2＝－＝，∴△P1OP2为直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|＝10.【答案】B5．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是()【导学号：91060005】A.B.C.D.【解析】极径ρ＝＝2，极角θ满足tanθ＝＝－， 点(1，－)在第四象限，∴θ＝－.【答案】A二、填空题6．平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于________．【解析】 点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于6＝3.【答案】317．已知点P在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P的极坐标为________．【解析】 点P(x，y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，∴x＝－2，且y＝－2，∴ρ＝＝2，又tanθ＝＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝.因此点P的极坐标为.【答案】8．极坐标系中，点A的极坐标是，则(1)点A关于极轴的对称点的极坐标是________；(2)点A关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ>0，θ∈[0,2π))【解析】点A关于极轴的对称点的极坐标为；点A关于极点的对称点的极坐标为；点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为.【答案】(1)(2)(3)三、解答题9．(1)已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A(3，)，B，C(－2，－2)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．【解】(1)根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A，B(－1，)，C，D(0，－4)．(2)根据ρ2＝x2＋y2，tanθ＝得A，B，C.10．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B(2，π)，C.(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．【解】(1)如图所示，由A，B(2，π)，C，得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，∴△AOB≌△BOC≌△AOC，∴AB＝BC＝CA，故△ABC为等边三角形．(2)由上述可知，AC＝2OAsin＝2×2×＝2.∴S△ABC＝×(2)2＝3.[能力提升]1．已知极坐标平面内的点P，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为()2A.，(1，)B.，(1，－)C.，(－1，)D.，(－1，－)【解析】点P关于极点的对称点为，即，且x＝2cos＝－2cos＝－1，y＝2sin＝－2sin＝－.【答案】D2．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________．【解析】如图所示，|OM|＝3，∠xOM＝，在直线OM上取点P、Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝，∠xOQ＝，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.【答案】或3．直线l过点A，B，则直线l与极轴夹角等于________．【解析】如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．因为|AO|＝|BO|＝3，∠AOB＝－＝，所以∠OAB＝＝，所以∠ACO＝π－－＝.【答案】4．某大学校园的部分平面示意图如图123：用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|...
