圆锥曲线0212.（本题满分14分）已知椭圆：的离心率为，且右顶点为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，当以线段为直径的圆经过坐标原点时，求直线的方程．【答案】解：（Ⅰ）由已知椭圆C的离心率，因为,得．所以椭圆的方程为．……………………4分（Ⅱ）设直线的方程为.由方程组得．（1）………………6分因为方程（1）有两个不等的实数根，所以．所以，得.…………7分设,，则，.（2）因为以线段为直径的圆经过坐标原点，所以,,即有.……………9分所以，所以（3）将（2）代入（3）得，所以，解得．……………………13分满足所求直线的方程为．……………………14分13.（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆.点M的坐标是（0,1）,线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．（Ⅰ）当m=，时，求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求m的值．【答案】解：设C1的方程为,C2的方程为（）．…..2分∵C1,C2的离心率相同，∴,∴，………………………………..……………………3分∴C2的方程为．当m=时，A,C．………………………………….……5分又∵,∴，解得a=2或a=(舍)，……………………………...………..6分∴C1,C2的方程分别为，．…………………………..7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知A(-,m),C(,m)．……………….……………9分∵OC⊥AN，（）．……………………………............................................…10分∵=（,m），=（,-1-m)，代入（）并整理得2m2+m-1=0，………………………………………………12分∴m=或m=-1(舍负)，∴m=．……………………………………………………………………13分14.（本小题满分13分）已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为，且点在椭圆上.直线的斜率为,且与椭圆交于、两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求面积的最大值.【答案】解:(Ⅰ)由题意知，所以.故所求椭圆方程为………………………………….5分(Ⅱ)设直线的的方程为,则.设代入椭圆方程并化简得,…………6分由,可得.()由()，得,故…..9分又点到的距离为,…………………10分故,当且仅当,即时取等号满足()式.所以面积的最大值为.……………………13分15.（满分13分）（1）某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，求三棱锥的体积.（2）过直角坐标平面中的抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点.用表示A，B之间的距离；【答案】（1）该几何体的高h＝＝＝2，∴V＝××6×2×2＝4.解：（2）焦点，过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程是由（或）16.（本小题14分）已知椭圆（）过点（0，2），离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过定点（2，0）的直线与椭圆相交于两点，且为锐角（其中为坐标原点),求直线斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）由题意得结合，解得所以，椭圆的方程为.（Ⅱ）设，则.设直线的方程为：由得即.所以，解得.故.为所求.17.（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）若直线不经过椭圆上的点，求证：直线的斜率互为相反数．【答案】（Ⅰ）由题意知,，又因为，解得故椭圆方程为．…………………4分（Ⅱ）将代入并整理得，解得．…………………7分（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明．设，，则．….………9分所以直线的斜率互为相反数．…………………14分18.（本小题满分14分）已知直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点，且当时，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点的坐标为，直线，与直线分别交于，两点.试判断以为直径的圆是否经过点?并请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）当时，直线的方程为，设点在轴上方，由解得.所以，解得.……………………………………………3分所以椭圆的方程为.………………………………………………4分（Ⅱ）由得，显然.…………5分设,则.……………6分,.又直线的方程为，解得，同理得.所以,…………………………………………9分又因为.…………………13分所以,所以以为直径的圆过点.………………………………14分
