考点规范练16导数的综合应用一、基础巩固1
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1处都取得极值
(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;(2)若对于x∈[-1,2],不等式f(x)1时,g(x)>0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立
(1)解f'(x)=2ax-1x=2ax2-1x(x>0)
当a≤0时,f'(x)0时,由f'(x)=0有x=1❑√2a
当x∈(0,1❑√2a)时,f'(x)0,f(x)单调递增
(2)证明令s(x)=ex-1-x,则s'(x)=ex-1-1
当x>1时,s'(x)>0,所以ex-1>x,从而g(x)=1x−1ex-1>0
(3)解由(2),当x>1时,g(x)>0
当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-lnxg(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0
当0g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立
当a≥12时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1)
当x>1时,h'(x)=2ax-1x+1x2-e1-x>x-1x+1x2−1x=x3-2x+1x2>x2-2x+1x2>0
因此,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增
又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立
综上,a∈[12,+∞)
已知函数f(x)=(x-k)ex+k,k∈Z
(1)当k=0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若当x∈(0,+∞)时,不等式f(x)+5>0恒成立,求k的最大值
解(1)当k=0时,f(x)=x·ex,∴f'(x)=ex+xex=ex(x+1),∴当x∈(-∞,-1)时,f'(x)0;∴f(x)在(-∞,-1)内是减函数,在(-1,+
