课时限时检测(十三)导数的概念及其运算(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难导数公式及运算法则1,2曲线的切线方程及应用84,10,116导数的几何意义3,7综合应用5,9,12一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.A．1B．2C．3D．4【解析】①(3x)′＝3xln3；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④′＝－＝－；⑤(x·ex)′＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)，故选B.【答案】B2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()A．2B．0C．－2D．－4【解析】f′(x)＝2f′(1)＋2x,∴令x＝1，得f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.故选D.【答案】D3．(2013·大纲全国卷)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝()A．9B．6C．－9D．－6【解析】y′＝4x3＋2ax，由导数的几何意义知在点(－1，a＋2)处的切线斜率k＝y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.【答案】D4．(2014·郑州模拟)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.B.C.D．1【解析】y′|x＝0＝(－2e－2x)|x＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分别为(1,0)，，故围成的三角形的面积为×1×＝.故选A.【答案】A5．放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量，已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝()1A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克【解析】由题意，M′(t)＝M0·2－ln2，∴M′(30)＝M0·2－1ln2＝－10ln2，则M0＝600，故M(60)＝600×2－2＝150.【答案】D6．(2014·孝感模拟)已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝2x2－7x＋6，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程是()A．y＝2x－1B．y＝xC．y＝3x－2D．y＝－2x＋3【解析】令x＝1得f(1)＝1，由f(2－x)＝2x2－7x＋6，两边求导可得f′(2－x)·(2－x)′＝4x－7，令x＝1可得－f′(1)＝－3，即f′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.【答案】C二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2014·烟台模拟)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．【解析】由直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切可知＝1，即x＋a＝1，此时y＝ln(x＋a)＝ln1＝0，且x＋1＝0，x＝－1.∴－1＋a＝1，即a＝2.【答案】28．(2014·成都模拟)已知a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程是________．【解析】 f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2是偶函数，∴a＝0，∴f(x)＝x3－2x，f′(x)＝3x2－2，∴f′(0)＝－2，f(0)＝0，∴切线方程为y＝－2x.【答案】y＝－2x9．(2014·泰安模拟)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.【解析】在定义域内，由f″(x)＝－sinx－cosx＜0，得①是凸函数；由f″(x)＝－＜0，得②是凸函数；由f″(x)＝－6x＜0，得③是凸函数；由f″(x)＝2ex＋xex＞0，得④不是凸函数．【答案】①②③三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．2【解析】设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于Q(x2，－(x2－2)2)．对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x，对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，即y＝－2(x2－2)x＋x－4. 两切线重合，∴2x1＝－2(x2－2)，且－x＝x－4.解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.∴直线l方程为y＝0或...
